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Correnti
alternate – Sistemi MONOFASE
Accanto alla rappresentazione trigonometrica del tipo
è fondamentale, per le applicazioni alla risoluzione dei problemi in corrente alternata sinusoidale, la rappresentazione vettoriale.
Figura 1) La rotazione del vettore alla velocità angolare costante ω (detta pulsazione del vettore elettrico) in senso antiorario origina, con la proiezione sull’asse delle ordinate, la successione dei valori istantanei che appartengono alla sinusoide, il cui asse delle ascisse può essere l’angolo di rotazione o il tempo trascorso. Qui l’angolo è espresso in gradi, anziché in radianti.
In fig.1 un vettore di ampiezza unitaria ruota in senso antiorario con velocità angolare costante ω e inizialmente (istante t=0 con α=0°) si trova sull’asse delle ascisse. Dopo un certo intervallo di tempo t il vettore ha descritto un angolo α=ωt e la sua proiezione sull’asse delle ordinate diventa
Questa proiezione cambia ovviamente da istante a istante.
L’ordinata dell’estremità del vettore di ampiezza unitaria, col trascorrere del tempo e quindi col crescere dell’angolo α descrive dunque una funzione sinusoidale. Sull’asse delle ascisse di fig.1 è riportato l’angolo descritto dal vettore, contato a partire dalla posizione orizzontale iniziale, secondo il verso positivo dell’ascissa. L’angolo di rotazione che cambia da istante a istante, nella funzione trigonometrica deve essere espresso in radianti, mentre in figura 1) è misurato in gradi.
In fig.2, per un vettore di ampiezza generica YMax, anziché unitaria, la proiezione verticale rappresenta la successione dei valori istantanei della grandezza all’aumentare del tempo e la sinusoide ne fornisce l’andamento temporale.
Si può dunque stabilire una corrispondenza :
- tra un vettore rotante e la sinusoide associata, oppure
- tra una grandezza sinusoidale e il vettore rotante univoco da essa definito.
Figura 2) Valore istantaneo della grandezza “y” quando il vettore rotante ha descritto l’angolo α di 30°, contato a partire dall’istante iniziale in cui è α=0.
Se ora si assume l’origine dei tempi in un istante diverso da quello di fig.1 (le considerazioni partivano dall’istante in cui il vettore era sulle ascisse), la grandezza sinusoidale avrà dunque una posizione iniziale diversa da zero: per meglio dire assumerà una fase iniziale non nulla. La costante di fase iniziale, detta comunemente fase e ancor più comunemente indicata con l’angolo φ, rappresenta la frazione di periodo già trascorsa (o l’angolo già descritto) nell’istante in cui si considera t=0. In fig.3 to è l’intervallo di tempo trascorso dall’inizio del periodo (valore iniziale nullo) fino all’istante che è stato assunto come origine dei tempi. La velocità angolare w del vettore (pulsazione) è espressa dalla (3):
Figura 3) Il vettore rotante Y1Max a cui si associa la sinusoide ha la fase φ di +60° nell’istante in cui si considera t=0. La pulsazione è di 314 rad/s, quindi con periodo di 20ms e frequenza 50Hz. La fase viene contata positiva partendo dalle ascisse della figura di sinistra e trovando il vettore con rotazione in senso positivo antiorario. La corrispondente proiezione sulle ordinate è positiva.
Il vettore associato alla sinusoide sarà dunque collocato in anticipo (+φ) o in ritardo (-φ) rispetto all’asse delle ascisse, preso come riferimento (lì si ha φ=0). L’angolo di anticipo o di ritardo può essere riferito anche ad un’altra grandezza sinusoidale, con stessa frequenza.
La rappresentazione della funzione sinusoidale è dunque data dalla (1):
La fase è positiva se la proiezione iniziale sulle ordinate è positiva. Negativa con proiezione al di sotto dell’ordinata “0”. L’angolo di anticipo viene valutato partendo dall’ascissa positiva e ruotando in senso positivo antiorario fino alla posizione del vettore.
Al contrario, se per raggiungere il vettore si deve ruotare in senso orario, partendo dall’asse positivo delle ascisse, allora l’angolo deve essere rappresentato con il segno negativo.
I valori istantanei della grandezza generica esaminata vengono rappresentati con la lettera minuscola “y(t)” o più concisamente con “y”. I valori istantanei sono rappresentati dalle proiezioni del vettore rotante sull’asse delle ordinate nel diagramma cartesiano di fig.3.
Il vettore rotante ha ampiezza (o valore massimo) che viene comunemente indicata con lettera maiuscola e accento circonflesso sul “capo”, anche se è diffusa la seconda rappresentazione con il pedice “M” o “Max”:
In realtà
l’associare un vettore ad una tensione o ad una corrente che
variano con legge sinusoidale è solo un utile artificio, comodo
per i calcoli e per grandezze con stessa frequenza, ma si sottolinea
che, fisicamente, una tensione o una corrente sono grandezze scalari.
In fig.7 compaiono due vettori e le rispettive sinusoidi associate, in due posizioni diverse, di equazione
La grandezza y1 è in anticipo di φ1 rispetto all’asse delle ascisse, mentre la seconda, y2, è in ritardo di φ2. Lo sfasamento fra le due grandezze è la loro differenza algebrica
Per sfasamento fra due o più funzioni sinusoidali si intende dunque la differenza tra gli argomenti.
Si distinguono i seguenti casi particolari di sfasamento fra due grandezze:
Δφ=0 grandezze in fase (fig.4)
Δφ=π/2 grandezze in quadratura (fig.5)
Δφ=π grandezze in opposizione di fase
Una grandezza sinusoidale è caratterizzata e univocamente determinata conoscendone
ampiezza, fase, pulsazione o frequenza fra loro legate, le ultime due, dalla relazione precedentemente scritta:
Nelle figure successive si rappresentano
- sinusoidi con stessa fase, stessa frequenza, ma di diversa ampiezza (fig.4),
- sinusoidi con stessa ampiezza e frequenza, ma diversamente sfasate (fig.5 con y1 in anticipo su y2 di π/2),
- sinusoidi con stessa ampiezza, stessa fase e pulsazione diversa (fig.6).
Figura 4) Due grandezze sinusoidali di diversa ampiezza YM , ma con stessa fase e stessa pulsazione.
Figura 5)Due grandezze sinusoidali di fase diversa (fra loro sono in quadratura, con y1 in anticipo di 90° oppure con y2 in ritardo di 90°). Ampiezza e pulsazione sono qui identiche.
Figura 6) Due grandezze sinusoidali con diversa pulsazione (y2 ha frequenza e quindi pulsazione doppia rispetto a y1). L’ampiezza è identica. Non si possono qui associare vettori rotanti alle due sinusoidi, poiché le loro velocità angolari diverse non consentono operazioni di somma algebrica, operazioni invece utili per la risoluzione di circuiti in regime alternato sinusoidale.
Se si lavora con grandezze sinusoidali che hanno tutte la medesima pulsazione è sufficiente riferirsi all’ampiezza e alla fase di ognuna.
6_Rappresentazione polare di grandezze sinusoidali
Si è visto in precedenza che, assegnata la grandezza sinusoidale
ad essa si può associare il vettore di ampiezza nota, rotante in senso antiorario alla velocità angolare costante ω, detta pulsazione. Il vettore forma con l’asse delle ascisse, nell’istante iniziale, un angolo pari alla fase φ, come rappresentato in fig.3.
Nel seguito si sottintenderà dunque che, stabilita la corrispondenza biunivoca tra il vettore rotante e la sinusoide associata, sarà sufficiente riferirsi esclusivamente al vettore posto nel piano cartesiano. Note ampiezza, velocità angolare e fase si immagina, senza disegnarla, la sinusoide che rappresenta.
7_Somma di due grandezze sinusoidali isofrequenziali
Se sono note le due grandezze, purché con stessa frequenza, esse sono rappresentabili contemporaneamente sul piano cartesiano, con la rappresentazione vettoriale. Essendo le velocità angolari identiche per i due vettori, la loro posizione reciproca non muta e quindi si può pensare di fissarla in un istante qualsiasi, preso per comodità, durante la loro rotazione (ad esempio fare in modo che una giaccia sull’asse delle ascisse).
Per eseguire la loro somma è sufficiente applicare le conoscenze relative alla somma di vettori (o alla loro differenza, se richiesto). La risultante ottenuta mediante il diagramma polare e determinata in ampiezza e fase consente un risultato immediato, senza dover ricorrere alla rappresentazione dei valori istantanei, pur con le approssimazioni consentite dalla grafica.
Questa operazione è particolarmente utile quando i vettori interessati sono anche più di due. Si possono così sommare vettorialmente più correnti che concorrono in un nodo, oppure più cadute di tensione nell’applicazione ad una maglia. E’ necessario solo che le grandezze abbiano la stessa frequenza e la stessa origine dei tempi.
Figura 7) Somma vettoriale di due grandezze sinusoidali isofrequenziali. L’operazione vettoriale sostituisce quella temporale con le sinusoidi.
prof. Attilio Barra e-mail: elettrotecnica@barrascarpetta.org
prof. Antonio Scarpetta e-mail: laboratorio@barrascarpetta.org
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