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 M o d u l o  2

C o r r e n t i   a l t e r n a t e  – S i s t e m i   M O N O F A S E

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Rappresentazione coi numeri complessi

8_Rappresentazione con numeri complessi delle grandezze sinusoidali  (metodo simbolico)

Si è visto come una grandezza sinusoidale del tipo

possa rappresentarsi geometricamente, all’istante t=0, con un vettore di modulo Y_M, fase φ e rotante in senso antiorario con velocità angolare ω (pulsazione).

Il vettore, all’istante ‘t=0’ (fig.3 precedente), può a sua volta essere rappresentato con il metodo simbolico.

Si ricordi ancora che al variare del tempo l’argomento è dato dalla relazione

e che il vettore viene posizionato all’istante t=0, quando l’argomento vale φ (fase).

Consideriamo ora, in successione da a) a d), i vari modi fra loro equivalenti di rappresentazione di un vettore con metodo simbolico,  vettore da intendersi sempre associato alla sinusoide, nel senso appena chiarito nell’unità precedente.

In seguito, quando si applicheranno queste rappresentazioni, il modulo corrisponderà molto spesso al valore efficace, anziché al valore massimo, data l’importanza pratica del valore efficace stesso.

a)      Forma binomia o rettangolare

Si passa dal piano cartesiano al piano di Gauss, la cui ascissa è l’asse reale e l’ordinata è l’asse immaginario.

Per convenzione si definisce

in cui ‘j’ è l’unità immaginaria.

Nell’esempio

compare la radice quadrata di un numero negativo, che nel campo reale non ha senso, ma che acquista significato con i numeri complessi.  

Figura 1) Il vettore A nel piano di Gauss

Con riferimento alla fig.1 la posizione del vettore A viene definita dalle sue componenti secondo l’asse reale e immaginario:

ove ‘j’ è il vettore unitario perpendicolare all’asse orizzontale.

In figura, in base ai valori numerici degli assi, si può scrivere

e del vettore si possono determinare il modulo:

e l’argomento (si legga argomento dell’arco la cui tangente è b/a):

Il vettore A può esprimersi con il ‘cappellino’ (o una frecciolina) o in grassetto:

= A

b)      Forma trigonometrica:

Dalla fig.1 si ottiene:

c)      Forma esponenziale,

 ricordando l’espressione di Eulero , si scrive:

d)      Forma polare (di Kennelly, vettoriale abbreviata o metodo americano):

in cui vengono indicati il modulo A e l’argomento θ.

9_Esempi di operazioni con i numeri complessi

Si faccia riferimento all’argomento trattato in matematica, mentre qui si fa cenno soltanto ad alcune semplici applicazioni di calcolo.

Si ricorda che l’applicazione dell’operatore unitario j ad un vettore fa ruotare il vettore stesso di 90° in anticipo rispetto alla posizione occupata sul piano di Gauss (il senso convenzionale positivo è quello antiorario).

Figura 2) L’applicazione dell’operatore j ad un vettore lo fa ruotare di 90° nel senso degli anticipi. Si vedano inoltre le relazioni (6) e (7), per giustificare ulteriormente i vettori –A e –jA.

Inoltre:

Si sottolinea ancora che moltiplicare per ‘j’ un vettore dà come risultato la rotazione  di 90° in anticipo.

Per la (8) moltiplicare per ‘-j’ o moltiplicare per ‘1/j’ un vettore significa farlo ruotare di 90° in ritardo.

Somma

(3+j4)+(-5+j5)+(6-j3)=(3-5+6)+j(4+5-3)=4+j6

(si sommano algebricamente e separatamente le parti reali e quelle immaginarie)

Con notazione polare abbreviata (modulo e fase) il risultato si esprime così:

Prodotto

P = (-4-j3)(4+j2)= -16-j8-j12-j²6= -10-j20

essendo j² = -1 (v. rel. 6)

Il prodotto è associabile a un vettore nel terzo quadrante del piano di Gauss, esprimibile in forma polare:

Si ricorda che il segno dell’argomento è positivo per angoli riferiti all’asse reale positivo e rilevati in senso antiorario, mentre il segno è negativo se ottenuti girando in senso orario.

Si ricorda che la potenza di un numero complesso si sviluppa con l’espressione

Analogamente per la radice

Quoziente

Occorre moltiplicare numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore. Lo scopo è quello di annullare il coefficiente della parte immaginaria ed avere al denominatore un numero reale, coincidente col quadrato del modulo del denominatore stesso.

Il complesso coniugato di un termine complesso possiede la stessa parte reale del numero dato e parte immaginaria con segno opposto.

Ad esempio, se B = -4-j6, il suo complesso coniugato è:

In generale eseguendo il prodotto fra un numero complesso e il suo complesso coniugato

si ottiene sempre il ‘quadrato della parte reale + il quadrato della parte immaginaria ’.  “Sparisce” così l’operatore j e si ottiene il quadrato del numero di partenza, in modulo.

Come applicazione si esegua il seguente rapporto:

Si osservi, come si è detto, che al denominatore della frazione si è ottenuto il quadrato del modulo di B.

Se si impiega il metodo esponenziale, convertendo i vettori A e B in forma polare, si opera ricordando che nel rapporto il quoto ha per modulo il rapporto dei moduli e argomento la differenza algebrica degli argomenti:

Da questo risultato si può passare alla forma trigonometrica ottenendo:

Come si potrà verificare nelle applicazioni numeriche, si può puntualizzare fin da ora che il metodo esponenziale o polare porta a risultati quasi immediati quando si debbano risolvere operazioni con successive moltiplicazioni e/o divisioni.

Quando si tratta invece di addizioni o sottrazioni, occorre operare con l’espressione binomia o con quella trigonometrica. In tal caso se le grandezze sono espresse nella forma polare vanno convertite in forma binomia, come si è fatto partendo dalla (9) per ottenere la (10).

prof. Attilio Barra e-mail: elettrotecnica@barrascarpetta.org

prof. Antonio Scarpetta e-mail:  laboratorio@barrascarpetta.org

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