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o d u l o 2
C o r r e n t i a l t e r n a t e –
S i s t e m i M O N O F A S E
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Unità 10
Le
Potenze nei
circuiti in corrente alternata monofase
18_Le potenze nei circuiti in corrente alternata
monofase
Per questo
importante argomento si fa riferimento a quanto riportato nel Modulo 0s2. Di
seguito vi sono i collegamenti riferiti ai circuiti in corrente alternata
monofase.
-
POTENZE - Generalità
1_
Potenza
istantanea
_
Potenze
attiva, reattiva, apparente e vettoriale
_
Grafici
e definizioni
(variazione
delle potenze al variare dello sfasamento del carico)
_
Valor
medio del prodotto di due grandezze sinusoidali
_
Misura
con wattmetri
Per l’applicazione del teorema
di Boucherot si rimanda al modulo
corrispondente all’indirizzo:
http://www.barrascarpetta.org/01_ele/m_4/m_4u03tb.htm
Qui si richiamano unicamente alcune considerazioni
e relazioni fondamentali, utilizzate nei calcoli delle potenze riferite ai
circuiti monofase (fig.1). Seguiranno alcuni esempi di risoluzione di circuiti
utilizzando il metodo delle potenze, con il teorema di Boucherot, fondamentale
per le applicazioni numeriche.
·
La potenza attiva P si dissipa nella resistenza R,
·
la potenza reattiva Q (che non si dissipa ma si
scambia continuamente) interessa le reattanze (segno + per le induttive e segno
– per quelle capacitive);
·
la potenza apparente S riguarda tutta l’impedenza Z
ed è legata dal teorema di Pitagora alla P e Q
(triangolo delle potenze di fig.1).
Figura
1)
Triangolo delle potenze. La Q positiva è per convenzione attribuita allo
scambio con +XL.
19_Il problema del rifasamento
nei circuiti monofase
Per la trattazione dell’argomento relativo al rifasamento
nei circuiti monofase si veda l’indirizzo:
2a_ Il
rifasamento, di
cui viene anche qui riportato il riferimento ai circuiti monofase.
Per migliorare il fattore di potenza di un
impianto, posto ad esempio all’arrivo di una linea di alimentazione e per
portarlo ad un valore cosφ’=0,9 imposto
dall’ente distributore o a un valore più elevato, fino al rifasamento totale,
occorre inserire in parallelo al carico una batteria di condensatori, che
compensi parzialmente o totalmente quella di segno opposto del carico.
Si
osserva che, come non si deve scendere al di sotto del valore 0,9 imposto, non
si può nemmeno rifasare in anticipo, onde evitare ad esempio problemi legati
alla sopraelevazione della tensione di rete.
Figura 2)
Diagrammi delle potenze dell'impianto utilizzatore prima e dopo il
rifasamento.
Per ridurre lo sfasamento complessivo
dell’utenza e quindi per aumentare il fattore di potenza complessivo occorre
inserire all’arrivo, in parallelo sul carico, una batteria di condensatori di
potenza Qc.
Dalla fig.2 si ottengono le seguenti
relazioni:
La potenza reattiva che interessa una
batteria di condensatori si può anche determinare dalla relazione (2), essendo la
reattanza capacitiva
Dall’uguaglianza
fra la (1) e la (2) si ottengono
da
cui
Vantaggi
del rifasamento:
L’aumento del f.d.p. in seguito al rifasamento porta alle
considerazioni seguenti:
·
diminuisce la potenza apparente dell’utenza (carico + batteria)
e quindi
·
diminuisce la corrente della linea (solo quando i condensatori
sono posti all’arrivo, in parallelo al carico e non in partenza della linea);
·
diminuiscono le perdite di potenza in linea;
·
diminuendo la corrente si può progettare la linea con una sezione
minore;
·
diminuiscono le cadute di tensione sulla linea;
·
aumenta il rendimento della linea.
Se l’utenza, rifasando, richiede minore
potenza apparente, l’ente che eroga l’energia può soddisfare più utenze,
rispetto a quando non si rifasa.
Se un utente preleva dalla rete una
potenza P e cosφ=1, mentre un secondo utente preleva la stessa potenza P,
ma con cosφ=0,5, la società che distribuisce l’energia
deve fornire a quest’ultimo una corrente in ogni istante doppia
rispetto a quella fornita al primo cliente, con maggiori perdite joule in linea
e nelle macchine generatrici.
Si ricorda ancora che la potenza attiva dell’utenza non viene
modificata dalla presenza dei condensatori, ritenendo costante la tensione prima
e dopo il rifasamento.
Come collocazione ideale i condensatori dovrebbero essere posti dove è
ubicato ogni singolo carico. Con l’impianto completamente rifasato (a cosφ=1),
la linea trasmette al carico la sola potenza reale, mentre quella reattiva si
scambia totalmente tra il carico e i condensatori di rifasamento.
In pratica però, a volte, si devono fare
altre scelte per motivi di organizzazione, di costo, di gestione degli impianti
e i condensatori vengono collocati ad esempio per gruppi di utilizzatori e non
per ogni singolo carico.
Si può anche controllare in tempo
reale il fattore di potenza dell’utenza e provvedere di conseguenza al
rifasamento, in base alle mutate condizioni, mediante inseritori
automatici di condensatori di una batteria rifasante.
Applicazioni numeriche al calcolo delle
potenze nei circuiti monofase - Risoluzioni con il metodo delle potenze, in
alternativa a quello simbolico.
Esempio
1)
Figura
3)
Del circuito sono noti i seguenti
valori:
U3 = 50 V;
R3 = 100 W;
XL3 = 150 W;
R2 = 80 W;
Xc = 10 W
Determinare
la tensione di partenza Up, la corrente totale I,
il cosjT
con il metodo delle potenze.
Come verifica
ripetere lo svolgimento con il metodo vettoriale.
Per la risoluzione si segue il
metodo delle potenze, applicando il teorema di Boucherot. Si calcolano le
potenze reali o attive che si dissipano nelle resistenze, le potenze reattive,
tenendo conto dei segni convenzionali (+ QL per
potenze che interessano le bobine pure, -QC per quelle
reattive che interessano i condensatori).
- La potenza attiva totale
è la somma di quelle attive parziali,
- la potenza reattiva
totale è la somma algebrica di quelle reattive,
- la potenza apparente
totale è la somma vettoriale, che viene calcolata, in genere,
non con il metodo vettoriale, ma determinandone il modulo dal teorema di
Pitagora (fig.1).
Calcolo dei moduli
della corrente in R3 e in X3, nota la
tensione ai capi del parallelo:
Potenza attiva in R3:
Potenza reattiva in XL3:
Potenza apparente relativa al
circuito equivalente parallelo:
E’ ora possibile calcolare la
corrente totale e, senza usare il metodo simbolico, se ne può determinare il
modulo, ricordando che la potenza apparente è anche il prodotto fra la tensione
ai capi del ramo in esame e la corrente che lo percorre, in questo caso quella
totale, per cui:
Si passa al calcolo della
potenza attiva nella R2 e a quella reattiva capacitiva in Xc:
Calcolo le potenze attive e
reattive totali:
All’ingresso la potenza
apparente complessiva è:
Da qui si ottiene la tensione in
partenza:
Il fattore di potenza
“visto” all’ingresso si può calcolare direttamente dal rapporto
Circa la soluzione con il metodo
simbolico si fornisce solamente la conclusione: si ottiene una impedenza totale del circuito pari a
Per il tracciamento del
diagramma tensioni-correnti può essere utile posizionare la tensione nota U3
sull’asse reale; di conseguenza si collocheranno le correnti e le altre
tensioni con questo riferimento iniziale.
Esempio
2)
Figura
4)
Si conoscono i seguenti
valori, relativi al circuito di fig.4:
Uu = 100 V;
f = 100Hz; R1 = 8 W; L1
= 6mH; R2
= 6 W;
X2 = 8 W;
R = 6W;
L = 4mH;
C = 200 mF
Determinare la
tensione di partenza Up, la corrente totale I,
il cosjT,
seguendo il metodo delle potenze.
Come verifica ripetere lo
svolgimento con il metodo vettoriale.
Calcolo le singole
reattanze alla frequenza di 100Hz data dal problema:
X1 = ω
L1 = 2·π·100 ·6·10-3 =3,77Ω
X L= ω
L = 2·π·100 ·4·10-3 =2,513Ω
Calcolo i moduli delle impedenze dei rami 1 e 2:
Calcolo le correnti in
modulo:
Calcolo le
singole potenze:
Si
possono determinare le stesse potenze in altro modo, ad esempio conoscendo lo
sfasamento relativo all’impedenza, la tensione totale ai capi e la corrente
che la attraversa.
Come
esempio, per il ramo 2, si ricava:
Per il teorema di
Boucherot i due rami in parallelo equivalgono ad un solo ramo, con i seguenti
dati:
La corrente
totale è dunque:
Del ramo in
serie, con i componenti percorsi dalla corrente totale, si calcolano le singole
potenze:
Calcolo le
potenze all’ingresso:
Dalla potenza
apparente si deduce la tensione d’ingresso:
Il fattore di potenza d’ingresso si può
calcolare, dal triangolo delle potenze, con il rapporto
Seguendo invece
il metodo simbolico e posizionando sull’asse reale del piano di Gauss la
tensione nota Uu= UBC si ottengono i
seguenti risultati (naturalmente identici, nei moduli, a quelli trovati col
metodo delle potenze):
I risultati
sono riportati nei diagrammi di fig.5.
Figura
5)
Esempio
3) Linea monofase e rifasamento
Si propone lo schema
6a) da risolvere ancora col metodo delle potenze. Il carico all’arrivo della
linea monofase (di cui si trascura la reattanza data la breve lunghezza)
necessita di rifasamento, secondo i dati ora forniti.
Figura
6a) Linea monofase che alimenta tre carichi all’arrivo; b) Circuito
equivalente e rifasamento.
Una linea monofase alimenta, alla tensione Ua di 230V, f=50Hz,
tre carichi di tipo ohmico induttivo, posti all’arrivo, di cui si conoscono i
seguenti dati (riferiti alla tensione di 230V e secondo lo schema di fig.6a):
P1
= 900 W; cosj1=
0,780
S2 = 1500VA;
cosj2=
0,830
Q3 = 1400var;
P3 = 750 W
La linea monofase, di lunghezza limitata, è tale per cui se ne può
trascurare la reattanza; essa presenta
però una resistenza Rl=0,4W
per ogni filo.
Si determinino la corrente in linea, la tensione in partenza, la c.d.t.
percentuale e il rendimento della linea stessa.
In un secondo tempo, dovendo riportare il fattore di potenza all’arrivo
al valore cosj’=0,9,
si richiede di determinare la potenza reattiva della batteria di condensatori.
Si ricalcolino la nuova corrente e il rendimento della linea dopo il rifasamento.
- Calcolo delle potenze del carico 1:
- Potenze del carico 2:
- Le potenze del carico 3 sono già fornite dal testo, per cui si
può determinare ora il carico complessivo, posto all’arrivo della linea e
mediante il teorema di Boucherot calcolarne le potenze, il fattore di potenza
complessivo e la corrente assorbita dal carico equivalente e dalla linea:
- La potenza persa in linea, dovuta ai due fili di linea è
- La perdita percentuale di potenza in linea vale
- Poiché è possibile trascurare la reattanza di
linea, alla partenza la potenza reattiva coincide con quella dell’utilizzatore
equivalente, mentre quella attiva diventa
- Si ricava la potenza apparente d’ingresso, da
cui si può dedurre la tensione con cui deve essere alimentata la linea:
- Il fattore di potenza d’ingresso è:
- Il rendimento della
linea è:
Rifasamento
Dalla (1) si
determina la potenza reattiva capacitiva della batteria di condensatori
necessaria a portare il fattore di potenza del carico all’arrivo dal valore
attuale (0,699) al valore di 0,9 , a cui corrisponde la tangente 0,484:
Per ipotesi si ritenga che dopo il rifasamento la
tensione ai capi del carico rimanga costante al valore richiesto di 230V.
La capacità totale dei condensatori è, per la (3):
Complessivamente il carico, dopo l’inserzione della batteria, richiederà
la nuova corrente I’, che percorrerà la linea di alimentazione. Essa
può ricavarsi determinando la potenza apparente corretta, e se ne constata la
riduzione rispetto a prima:
Alla riduzione della potenza apparente corrisponde, come ci si aspettava,
una riduzione della corrente in linea (da 18A a 14A).
Anche la potenza persa in linea si riduce secondo le relazioni
All’ingresso della linea si ricalcolano:
Il rendimento dopo il rifasamento diventa:
Per la giustificazione delle relazioni precedentemente usate per la linea
si veda il collegamento 13_
Linee trifase – Impostazioni di calcolo., che si possono
adattare in modo semplice alla linea monofase qui trattata.
prof. Attilio Barra e-mail: elettrotecnica@barrascarpetta.org
prof. Antonio Scarpetta e-mail: laboratorio@barrascarpetta.org
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