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 M o d u l o  2

C o r r e n t i   a l t e r n a t e  – S i s t e m i   M O N O F A S E

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Fenomeno della mutua induzione

17_Il fenomeno di mutua induzione

Due o più circuiti si dicono mutuamente accoppiati quando, al variare della corrente in uno di essi, corrispondono variazioni di flusso che vanno anche a concatenarsi con gli altri circuiti, originando f.e.m. indotte di mutua induzione.

                Quindi, accanto alla generazione di f.e.m. autoindotta, cioè sul circuito stesso, prodotta dalle proprie linee di flusso

 occorre esaminare anche quelle generate dai circuiti e sui circuiti vicini, se compartecipano linee di flusso.

                Dalla (1) si ricava la definizione di induttanza o coefficiente di autoinduzione che, nei casi di linearità (bobina avvolta ad esempio in aria) vale

Figura 1) Fenomeno di autoinduzione e di mutua induzione. La variazione della corrente nel circuito 1 crea linee di flusso che si concatenano anche col circuito vicino e vi producono una f.e.m. indotta di mutua induzione (rel.2).

Consideriamo i due solenoidi di fig.1, e inizialmente solo la bobina 1 sia percorsa dalla corrente i₁, variabile sinusoidalmente. Tale corrente produce il flusso totale Φ₁, di cui la parte Φ₁₁ si concatena esclusivamente col circuito 1 e la parte rimanente Φ₁₂ anche col circuito 2.

La variazione della corrente i₁ induce quindi sul circuito 2, tramite Φ₁₂, la f.e.m. indotta:

(L’ultima relazione, che definisce il coefficiente di mutua induzione M, vale in condizioni di linearità, che si ritiene sia qui soddisfatta).

Si consideri ora anche la variazione della corrente i₂, che genera il flusso totale Φ₂, di cui la parte Φ₂₂ si concatena esclusivamente col circuito 2 e la parte rimanente Φ₂₁ anche col circuito 1.

La variazione della corrente i₂, e di Φ_21, induce quindi ai capi della bobina l, per mutua induzione, la f.e.m. indotta:

Ritenendo questo sistema lineare si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e si può calcolare la f.e.m. totale e_1T indotta ai capi del circuito 1:

Se la corrente in gioco è sinusoidale si dimostra, come si è fatto per il circuito induttivo, che il valore efficace della f.e.m. di mutua induzione è a 90° in ritardo rispetto alla corrente che la genera:

                Di conseguenza la caduta di tensione avrà segno opposto:

in cui X_M è la reattanza mutua e U_2M è la tensione necessaria ad equilibrare la f.e.m. E_2M, rispetto alla quale sarà quindi in opposizione. Dunque la caduta di tensione ai capi della reattanza mutua X_M sarà in anticipo di 90° rispetto alla corrente.

                I coefficienti di mutua induzione si misurano in henry, come il coefficiente di autoinduzione e il loro valore in modulo è legato al concatenamento più stretto o più lasco del flusso indotto, ovvero alla vicinanza e alla posizione reciproca, mentre il segno è

positivo  +M  quando il flusso induttore e quello indotto sono concordi,

negativo –M  quando il flusso induttore e quello indotto sono discordi.

Indicando con k, fattore di accoppiamento, il rapporto fra la parte di flusso che investe mutuamente i due circuiti e il flusso totale prodotto si può scrivere, per le due bobine:

Moltiplicando le formule finali delle relazioni (2) e (3), utilizzando la (5) e la (1’) si ottiene

                    Due bobine, ad esempio, avvolte sullo stesso nucleo di materiale ferromagnetico, sovrapposte, hanno il massimo valore della mutua induttanza M, con k=1;  se disposte con gli assi a 90° non si influenzano mutuamente e k=0.

Come esempio si prenda in esame lo schema di fig.2a), in cui le due bobine percorse da corrente siano interessate da un flusso mutuo concorde, per cui il segno da attribuire a M è positivo.

Applicando il secondo principio di Kirchhoff :

I vettori sono riportati in fig.2b) e si può osservare che:

- la c.d.t. dovuta a R₁ è in fase con la I₁,

- la c.d.t. dovuta a X₁ è in anticipo di 90° rispetto alla I₁,

- la c.d.t. dovuta a X_M nel circuito 1 è in anticipo di 90°  con la I₂ del 2° ramo.

Analogamente per il ramo 2; qui la c.d.t. dovuta a X_M è in anticipo di 90° sulla I₁.

Figura 2a) Accoppiamento mutuo per flussi concordi fra i due circuiti; b) relativo diagramma correnti-tensioni.

Nel caso in cui i due solenoidi di fig. 2 fossero collegati in modo tale che i flussi risultassero discordi (basterebbe scambiare l’ingresso con l’uscita di una delle due bobine), il segno da attribuire alla M diventerebbe negativo e nelle (8) e (9) le rispettive c.d.t. sarebbero di segno opposto. Nel diagramma di fig.2b) la X_MI₁ andrebbe collocata a 90° in ritardo sulla I₁ e la X_MI₂ andrebbe collocata a 90° in ritardo sulla I₂.

17a_Il segno del coefficiente di mutua induzione M _ Convenzioni

Tornando al segno da attribuire al coefficiente M si è detto che se i flussi mutui sono concordi si attribuisce il segno +; se invece i flussi sono discordi si ha –M.

Se lo schema permette di conoscere il senso dell’avvolgimento e della corrente, come in fig.2a, non ci sono dubbi in merito: si applicano le regoletta pratiche per conoscere i versi del flusso prodotto dalle rispettive correnti ( _ Campo magnetico prodotto da un solenoide).

Altrimenti occorre conoscere i morsetti corrispondenti, che devono essere segnati con una coppia di bollini. Questo sta a significare che in un certo istante è identica la polarità della tensione mutua.

·      Pertanto se le correnti in gioco entrano (o escono) contemporaneamente in quei punti dell’avvolgimento i relativi flussi saranno concordi (+M ): le cadute dovute a L e a M hanno stesso segno +.

·      Quando invece una corrente entra in un bollino e l’altra esce dall’altro bollino i flussi saranno discordi (-M): le cadute dovute a L e a M hanno segno opposto.

Figura 3) Segno da attribuire al coefficiente M, in base alla posizione dei morsetti corrispondenti (e dei versi dei flussi che si concatenano con i due circuiti). I versi di figura si riferiscono alle correnti che entrano e/o escono dai morsetti segnati con bollino.

Esempio 1) Calcolo dei parametri relativi a due bobine accoppiate

La corrente di 2A  percorre una bobina con N₁=1000 spire e il flusso che vi si concatena è Φ₁₁=0,2mH, mentre quello che interessa una seconda bobina vale  Φ₁₂=0,3mH. La seconda bobina possiede N₂=1500 spire.

Si determinino L₁,L₂, il fattore di accoppiamento k e il coefficiente di mutua induzione M.

Il flusso totale prodotto dalla corrente I₁ è

Dalla (7) si ricava infine

Esempio 2) Bobine in serie,  mutuamente accoppiate – Impedenza totale

Figura 4a)  Tre bobine collegate in serie,  che si influenzano reciprocamente. Lo schema b)  consente di determinare il segno di M, con le regole di fig.3, in base al percorso della corrente rispetto ai bollini rossi, che indicano i morsetti corrispondenti.

Le tre bobine di fig.4 sono in serie e quindi la corrente che le percorre è la stessa.

Le linee di flusso non sono state indicate, ma sono al solito determinabili con le regoletta citate).

Il flusso prodotto dalla bobina 1 è discorde con quello prodotto dalla bobina 2, ma è nuovamente concorde con quello della bobina 3. Tra le bobine 2 e 3 il flusso è discorde. Pertanto, in base alle regole sui morsetti corrispondenti e ai segni da attribuire a M di fig.3, si propone la fig. 4b).

Per quanto detto i circuiti che si influenzano mutuamente sono in generale percorsi da correnti diverse, per cui, ad esempio, si deve tener conto della mutua induzione prodotta dalla corrente I₁ sul circuito 2 (con c.d.t. pari a -jωM₁₂I₁) e della mutua induzione prodotta dalla corrente I₂ sul circuito 1 (con c.d.t  pari a -jωM₁₂I₂). Nel caso di fig. 4, essendo I₁=I₂=I, si deve dunque considerare il prodotto -2jωM₁₂I .

Pertanto in fig.4 l’impedenza totale è data dall’espressione

Esempio 3) Due bobine in serie con flussi concordi e discordi.

Due bobine collegate in serie con corrente che crea due flussi concordi (come la 1 e la 3 di fig.4) presentano una induttanza complessiva (compresa la M) che vale L_C.

Invertendo l’ingresso con l’uscita di una bobina i flussi diventano discordi (come le bobine 1 e 2 di fig.4): l’induttanza complessiva è ora L_D.

Si determini il coefficiente di mutua induzione M.

Nel collegamento serie con flussi concordi e con flussi discordi si ha rispettivamente:

Sottraendo la (11) dalla (10):

Questa formula conclusiva consente la misurazione indiretta del coefficiente M, tramite la misura dell’induttanza equivalente nei due collegamenti, mediante ad esempio un ponte di misura.

Esempio 4)  Due bobine collegate in parallelo: induttanza equivalente

Figura 5) Collegamento in parallelo di due bobine caratterizzate da autoinduzione e da mutua induzione, con flussi concordi. La relazione (16)  ne definisce la formula di calcolo.

Delle due bobine, collegate in parallelo (fig.5a), si conoscono le induttanze L₁=2mH,      L₂=6mH, fattore d’accoppiamento k = 0,8 . Si trascurino le resistenze delle bobine, ma non l’influenza mutua.

Si calcoli l’induttanza equivalente di fig.5b, tenendo conto, come risulta dalle indicazioni dei bolli dello schema, che i flussi prodotti dalle correnti I₁ e I₂ sono concordi.

Mediante la (7) si calcola il coefficiente di mutua induzione:

Applicando i principi di Kirchhoff alle maglie di fig.5a  si scrive

Da queste due equazioni si ricavano le correnti incognite I₁ e I₂ che, sostituite nella (13), forniscono la corrente totale.

Poiché per il circuito equivalente di fig. 5b) è possibile scrivere

si ricava infine, per le due bobine in parallelo, con flussi concordi:

e sostituendo i valori numerici noti si ottiene L_eq = 1,76mH .

prof. Attilio Barra e-mail: elettrotecnica@barrascarpetta.org

prof. Antonio Scarpetta e-mail:  laboratorio@barrascarpetta.org

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