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Unità 8
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Risonanza in serie
15_Risonanza in serie
Un alimentatore fornisca una tensione sinusoidale di valore efficace
costante, ma se ne possa variare la frequenza teoricamente
da 0 a ∞. Si alimenti il circuito serie di fig.1a).
Figura 1a)
Circuito serie R-L-C. In risonanza (b), quando XL=XC,
si compensano le due cadute di tensione reattive e la tensione totale del
generatore coincide con quella ai capi di R. In tali condizioni, se XL=XC>R,
si ha una sopraelevazione di tensione ai
capi di L e C, come si è ipotizzato in figura.
Poiché al crescere della frequenza cresce la pulsazione ω, anche la
reattanza induttiva varierà linearmente da 0 a ∞, in base alla relazione
(v. fig.2):
XL
= ω · L
= 2πf · L
Per quanto riguarda la reattanza capacitiva, essa è invece elevatissima alle
basse frequenze e tende al corto circuito con frequenze altissime, secondo
l’iperbole equilatera (fig. 2) che risulta dalla relazione
L’impedenza totale, tenendo conto dei segni (+XL e –Xc)
ha come modulo
e la corrente assorbita è
con sfasamento deducibile ad esempio dalla relazione
Sono riportati in fig. 2 anche l’andamento dell’impedenza e della corrente
nel circuito, al variare della frequenza del generatore.
Figura 2)
Grandezze circuitali al variare della frequenza. Alla frequenza fR,
in risonanza, l’impedenza Z è minima e coincide con la resistenza R,
essendo nulla la reattanza totale XL-XC (curva
gialla); la corrente è massima. La
curva della corrente è tanto più appuntita e di elevato valore massimo
quanto minore è la resistenza R.
Quanto vale la frequenza fR in corrispondenza della quale le
due reattanze si uguagliano? Basta ricordare che
A questa frequenza, detta frequenza di risonanza, l’unico
ostacolo è costituito dalla resistenza R e, tanto più piccolo sarà il
suo valore, tanto maggiore sarà la corrente assorbita dal circuito:
In tale condizione potranno quindi aversi elevati valori delle c.d.t. parziali UL
e UC ai capi delle due reattanze, tali da superare il valore
della tensione U di alimentazione che viene imposta ai capi del circuito.
Ciò accadrà per XL=XC > R .
Il valore di sovratensione può risultare pericoloso per l’isolamento dei
componenti circuitali, specie se è imprevisto il fenomeno di risonanza nel
circuito di lavoro.
In risonanza la tensione richiesta dal condensatore è esattamente identica alla
f.e.m. di autoinduzione della bobina. La tensione ai capi della resistenza
coincide invece con quella totale.
In modo analogo a prima si potrebbero determinare il valore di capacità C necessario
a conferire la condizione di risonanza, note la frequenza e l’induttanza L
della bobina, oppure il valore di L che porta alla risonanza, note la
frequenza e la capacità C (basta ricavarne i valori dalla (1)).
Dalla fig.2 si nota che per basse frequenze, fino a valori prossimi a fR
il circuito ha un comportamento R-C; alla frequenza fR
il circuito è puramente ohmico e per frequenze superiori alla fR
il circuito diventa sempre più di tipo induttivo, con corrente in ritardo sulla
tensione impressa, fino a tendere a +90° con f → ∞. Quando f
→ 0 il circuito ha invece uno sfasamento che tende a –90°.
15a_Coefficiente
di risonanza o fattore di bontà “Q”
Al diminuire della resistenza R la curva di risonanza diventa più
appuntita e il circuito diventa più selettivo, ovvero per
un segnale formato da più armoniche sono ostacolate di meno la componente con
frequenza di risonanza fR e quelle con frequenze ad essa molto
vicine, mentre le altre vengono praticamente eliminate.
Le proprietà selettive si valutano con la banda passante (v. dopo) e con il
fattore o cifra di merito o di bontà, detto anche coefficiente di risonanza o
di sopraelevazione di tensione Q e inteso, alla frequenza fR,
come rapporto:
e tenendo conto della (1), dopo qualche semplice passaggio si ottiene
Maggiore è Q, maggiore è la selettività del circuito e maggiore è la
sovratensione parziale rispetto alla tensione totale.
Q è un indice della capacità di un circuito ad immagazzinare energia
rispetto alla possibilità di dissiparla nella resistenza.
15b_Banda passante “B” _
Frequenze di taglio
Per banda passante si intende l’escursione di frequenza compresa tra f1
< fR e f2 > fR ,
limiti per i quali la corrente del circuito assorbita in risonanza IR
si riduce dal valore dato dalla (2) al valore
In questo intervallo la variazione della corrente non è tale da presentare una
distorsione apprezzabile.
La frequenza f1 viene detta frequenza di
taglio inferiore, mentre
la frequenza f2 viene detta frequenza di
taglio superiore.
In corrispondenza di questi due limiti
la banda passante viene definita dalla differenza
e si può dimostrare, dopo un certo numero di passaggi, che essa dipende dalla
relazione
(Si impone che la Z sia tale per cui, per la (4)
Alla f1 la reattanza totale coincide con R, quindi con
sfasamento di -45° :
Questa equazione di secondo grado si risolve rispetto a ω1
.
Si ripete l’impostazione per ω2
e si calcola infine la differenza tra le pulsazioni limite e quindi
la differenza tra le frequenze e si ottiene la (5).
Si ricavano infatti, dalla risoluzione delle equazioni di 2° grado,
le seguenti espressioni:
Si può verificare inoltre che
e che il guadagno espresso in decibel in corrispondenza della frequenza
di taglio è negativo (attenuazione) e vale
Il circuito è tanto più selettivo quanto più
è stretta la banda passante.
In corrispondenza della frequenza di risonanza
il circuito è di tipo puramente resistivo, con sfasamento di 0° fra
tensione totale e corrente;
per f=f1 lo sfasamento
è di -45°, di tipo ohmico-capacitivo, perché prevale la Xc;
per f=f2 lo sfasamento
è di 45°, di tipo ohmico-induttivo.
__________________________________
Esempio 5)
Un circuito serie R-L-C è così
costituito (fig. 1a):
R=10Ω; L=0,2H; C=60μF
Si calcolino la frequenza di risonanza, le
frequenze di taglio inferiore e superiore, la banda passante, il fattore di
bontà.
_________________________
Calcolo della frequenza di risonanza:
Calcolo, dalle (6), le pulsazioni di taglio inferiore e superiore:
da cui si ottengono le rispettive frequenze di taglio (fig. 3):
Si può ancora verificare che la frequenza di risonanza è la media geometrica
delle due frequenze di taglio:
La banda passante vale dunque:
mentre il fattore di merito si può determinare con una delle due relazioni
seguenti:
per cui la tensione ai capi delle reattanze, in risonanza, sarà Q
volte quella totale:
e pertanto l’isolamento dei componenti dovrà sopportare questa
sopraelevazione di tensione in corrispondenza della frequenza fR
.
In altro modo si possono calcolare le reattanze alla frequenza di risonanza, le
loro c.d.t. e poi rapportarle alla tensione ai capi della resistenza
(coincidente, in risonanza, con la tensione totale).
Si ricorda che in risonanza si ha la corrente massima (fig. 3):
per cui avremo:
XLris
= ωR · L = 2πfR· L = 2π·45,94·0,2=57,74Ω
e le tensioni
ai capi di L e C :
Quindi si
ottiene
che è il coefficiente di sopraelevazione della tensione.
Figura 3) La Banda passante B=f2-f1
. A questi due valori limite della frequenza (frequenza di taglio
superiore e inferiore) corrisponde una
corrente 0,707·IR .
La banda passante è maggiore se la resistenza del circuito
aumenta, con una diminuzione di selettività. Viceversa per resistenze
minori.
16_Risonanza
parallelo (antirisonanza)
16a) Come caso
duale della risonanza serie (circuito di fig.1) consideriamo lo
schema di fig.4, formato da rami ideali R,L,C in parallelo. Anche qui si
possa mantenere costante la tensione in ampiezza e variarne la frequenza.
Figura 4a)
Risonanza parallelo o antirisonanza: è il caso duale della risonanza serie di
fig.1a). In b) le correnti corrispondono alla condizione di risonanza e, come in
questo caso, quelle reattive, uguali e contrarie, sono superiori alla corrente
totale del fattore Q.
Il circuito è antirisonatore quando ad un particolare valore di
frequenza (detta di antirisonanza) esso presenta la minima
ammettenza, e quindi la massima impedenza equivalente.
Il circuito antirisonante e quello risonante visto sopra sono perfettamente
duali.
L’ammettenza generica del circuito di fig.4 è
In risonanza si uguagliano le suscettanze e dall’uguaglianza si deduce la
frequenza di risonanza fR:
Alla frequenza suddetta l’ammettenza assume il valore minimo, coincidente con
la conduttanza G e anche la corrente totale è minima e in fase con la
tensione. Addirittura, nel caso teorico di conduttanza nulla, la corrente totale
assorbita dal circuito sarebbe nulla, con correnti nei rami L e C
tendenti a infinito.
Figura 5)
Grandezze circuitali al variare della frequenza. Alla frequenza fR,
in risonanza, l’impedenza equivalente Z è massima, mentre è minima
l’ammettenza totale, proporzionale alla corrente totale.
Il caso è duale rispetto a quello serie di fig. 2.
Al di sotto della fR prevale la suscettanze induttiva, con
sfasamento negativo dell’ammettenza (ma con sfasamento positivo per
l’impedenza, ovvero corrente in ritardo sulla tensione). Al diminuire della
frequenza lo sfasamento tende a –90°. Al contrario succede per frequenze
superiori alla fR: prevale l’effetto capacitivo e la
corrente è in anticipo rispetto alla tensione. Al crescere della frequenza lo
sfasamento tende a 90°.
Come per il circuito serie anche qui si possono ricavare le relazioni che
definiscono il fattore Q e la banda passante B
Q è anche detto, sempre per il circuito di fig.4, coefficiente di
sovracorrente
La corrente totale, in generale, è data dal prodotto
e in risonanza è in fase con la tensione, con modulo IT =
IG =U·G
16b)
Caso di due rami generici in parallelo
Si
consideri il circuito di fig. 6, costituito da due rami in parallelo.
Figura 6a)
Due rami in parallelo e ricerca della condizione di risonanza che
si verifica quando si uguagliano, in valore numerico, le suscettanze dei
due rami; b) diagramma correnti-tensione in condizione di risonanza.
Sono indicate anche le componenti delle correnti nei due rami (rel. 13).
Con il metodo delle ammettenze, visto in precedenza, si scrive
e si ha risonanza quando la suscettanza totale e quindi la parte
immaginaria si annullano.
Imponendo l’annullamento della parte immaginaria si ricava, dopo un bel po’
di passaggi, la seguente relazione che fornisce la frequenza di risonanza, in
funzione degli altri parametri circuitali:
Per quanto riguarda le correnti
si può osservare quanto segue:
espressione giustificata con le componenti di fig. 6b). In risonanza si annulla
la componente immaginaria e rimane la sola attiva, in fase con la tensione.
Osservazione
Quale condizione si verifica nel caso in cui
numeratore e denominatore sotto radice quadrata della (12) sono uguali, ovvero
con RL2 = RC2 = L/C
? Si provi a calcolare se, in tale
condizione, cambia qualcosa al variare della frequenza!
Dopo altri laboriosi passaggi si
ottengono i seguenti risultati, utili per determinare un parametro
circuitale in funzione degli altri noti, sempre in
condizioni di risonanza:
in cui le reattanze sono
riferite alla pulsazione di risonanza ωR=2πfR
e inoltre:
Esempio
6)
Del circuito di fig.6 si conoscono i seguenti dati:
U=10V
Determinare la frequenza di
risonanza e le correnti in gioco.
Dalla (12) si ottiene la
frequenza di risonanza richiesta:
XLris
= ωR · L = 2πfR· L =
14,26Ω
Procedendo nei calcoli col metodo delle ammettenze e delle componenti delle
correnti, secondo la relazione
(13), o con le impedenze e metodo simbolico, ponendo la tensione sull’asse
reale, si ottengono i seguenti risultati:
IC=0,1+j0,699
|IC|=IC=0,706A
IL=0,039-j0,699
|IL|=IL=0,700A
IT=0,139
|IT|=IT=0,139A
Il diagramma vettoriale
correnti-tensione è del tipo riportato in fig.6b).
Si osservi, come deve essere in
risonanza, che le componenti reattive delle correnti sono uguali e
contrarie e la corrente totale è in fase con la tensione. In
questo esempio le correnti nei rami sono maggiori rispetto a quella totale
(anche se non sempre questa condizione è soddisfatta).
Confronti e
conclusioni
Nella risonanza serie,
quando si compensano la reattanza induttiva e quella capacitiva, ovvero le due
corrispondenti c.d.t., la corrente assorbita è massima, e tale valore è tanto
maggiore quanto minore è il valore della resistenza. Addirittura per resistenza
nulla la corrente assume valore teoricamente infinito. Al di fuori della
risonanza la corrente diminuisce e si trova in anticipo sulla tensione quando f<fR;
per frequenze f>fR la corrente torna a diminuire, ma
con sfasamenti in ritardo sulla tensione.
Al diminuire della resistenza il
fattore Q cresce e si riduce la banda passante B, con circuito
sempre più selettivo.
Nel circuito antirisonante
in parallelo si compensano, alla risonanza, le suscettanze induttiva e
capacitiva, e quindi le componenti reattive delle correnti. Se la resistenza è
nulla l’impedenza equivalente è infinita e la corrente assorbita totale è
nulla. Essa è comunque, in generale, minima per f=fR.
Al di fuori della risonanza, per f<fR, la corrente
cresce e va in ritardo sulla tensione. Per f>fR la
corrente cresce di nuovo e va in anticipo sulla tensione.
Al diminuire della resistenza
del circuito parallelo ideale, il fattore Q diminuisce e la banda
passante cresce, con minor selettività (rel. 8).
Nell’istante in cui la
tensione ai capi del condensatore è nulla la corrente è massima
nell’induttanza (e massima è la sua energia); viceversa, quando si annulla la
corrente nella bobina, è massima la tensione ai capi del condensatore, con la
massima energia immagazzinata.
Il collegamento opportuno di
rami LC dà luogo a filtri elettrici per bloccare o per consentire il
passaggio di correnti con specifici valori di frequenza. Ci sono i filtri passa
basso (per consentire la circolazione di componenti con frequenze ridotte), i
filtri passa alto (consentono la circolazione di frequenze sempre più elevate),
filtri passa banda o elimina banda, con evidente significato, per un limitato
intervallo di frequenze.
Domande
riepilogative
·
In risonanza quale condizione deve soddisfare l’energia
immagazzinata?
·
Quali grandezze possono essere esaltate nella risonanza serie e
nell’antirisonanza?
·
Chiarire perché Q assume il significato di coefficiente di
sovratensione o di sovracorrente.
·
In quali casi gli effetti di risonanza possono essere utili e in
quali pericolosi?
·
Tracciare la curva dello sfasamento fra tensione totale e corrente
totale al variare della frequenza, nel caso di circuito serie e nel caso duale
di parallelo.
·
Quando un circuito serie R-L-C diventa di tipo induttivo?
prof. Attilio Barra e-mail: elettrotecnica@barrascarpetta.org
prof. Antonio Scarpetta e-mail: laboratorio@barrascarpetta.org
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