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 M o d u l o  3

S i s t e m i   T R I F A S E

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IMPOSTAZIONI DI CALCOLO

    Si premette un richiamo alle relazioni più importanti per il calcolo delle linee e successivamente si passerà all’applicazione numerica relativa ad una linea elettrica trifase che alimenta un carico equilibrato. Si seguiranno tre diversi metodi di impostazione, giustificandoli di volta in volta.

    Si trattano solamente linee corte (l < 20km), per cui si trascurano gli effetti capacitivi e le conduttanze trasversali (queste terrebbero conto delle correnti di dispersione).

    Per la scelta delle sezioni commerciali delle linee si consultino il Manuale di Elettrotecnica del Perito Industriale (Ed. Cremonese) o le tabelle UNEL (p.e. per corde in rame la tab. 01.413-52), che forniscono, tra l’altro, la sezione nominale, il diametro e la resistenza elettrica riferita ad un kilometro della linea.

    N.B.: Se non è espressamente precisato, le tensioni e le correnti che compaiono nelle relazioni si intendono valori di linea.

c.d.t. industriale percentuale :

Formule particolari:

Perdita di potenza in linea:

in cui la potenza in arrivo è

e quella di partenza vale

Formula della sezione teorica, nota la perdita percentuale in linea:

Fissata infatti la p_l% della linea

e semplificando la I si ottiene

Da questa si ricava la (4).

Rendimento della linea :

Rifasamento a triangolo o a stella (v.§2a):

    Una linea aerea trifase in rame, lunga l = 5,5 km, di sezione S_cu=10mm², è disposta secondo i vertici di un triangolo equilatero di lato D=0,4m. All’arrivo viene alimentato un carico trifase equilibrato che assorbe una potenza complessiva P_u=250kW con un cosφ_u=0,830 e alla tensione U_u=9kV, frequenza f=50Hz.

    Determinare:

1. la tensione e il f.d.p. in partenza della linea;

2. la caduta di tensione percentuale, la perdita percentuale di potenza in linea e il rendimento della stessa;

3. Si rifasi successivamente il carico al valore di cosφ’_u=0,920 e, ritenendo costante la tensione di arrivo dopo l’inserzione dei condensatori, si ricalcolino la nuova tensione di partenza e il rendimento della linea.

1.) Si calcolano inizialmente la corrente di linea, che è anche quella assorbita dal carico e i parametri della linea, ritenendo la resistività del rame ρ=0,018(Ω·mm²)/m, in considerazione della temperatura dei conduttori di linea durante il passaggio della corrente e della lunghezza effettiva dei conduttori stessi (disposizione a catenaria).

    Calcolo della corrente assorbita dal carico

    Calcolo della resistenza di linea

    Calcolo della reattanza di ogni filo di linea dalla formula (3) scritta sopra, in cui il diametro del conduttore è

    Ora si calcola la tensione di partenza con uno dei seguenti procedimenti.

    Si pone la corrente di linea, come vettore, sull’asse reale del piano di Gauss.

    Si calcolano inoltre la resistenza R_u e la reattanza X_u di ciascuna fase del carico il quale, come si è già detto, viene considerato a stella equivalente (non essendo stato stabilito dal tema il tipo di collegamento interno).

    Calcolo vettoriale della tensione d’arrivo:

    Calcolo della tensione e del f.d.p. in partenza della linea:

Calcolo della caduta di tensione vettoriale:

    Si osservi che il modulo della caduta di tensione vettoriale è diverso, concettualmente, dal significato di caduta di tensione industriale, metodo che si segue nel punto successivo. Infatti la c.d.t. industriale è definita come differenza numerica, e non vettoriale fra le tensioni di partenza e di arrivo.

 

b) Metodo della c.d.t. industriale

    Il procedimento consiste nell’applicazione della relazione (1), non rigorosa per i risultati, ma certamente valida per le approssimazioni richieste.

    Sostituendo i valori tutti noti delle grandezze (basta risalire ancora al sinφ_u) si ottiene:

 

    Si insiste ancora sul significato di c.d.t. industriale che è, per definizione, una differenza semplicemente numerica fra i moduli delle tensioni in partenza e in arrivo.

    Il risultato è infatti diverso, come deve essere, rispetto a quello vettoriale precedente (anche se in certi casi la differenza, in modulo, può non essere significativa).

 

    Il seguente metodo viene spesso seguito per la precisione dei risultati conseguiti, per la semplicità e per la praticità. Infatti, se il tema richiede la determinazione della perdita percentuale di potenza in linea e il rendimento della linea stessa, i valori numerici sono già disponibili per le relative formule.

    Calcolo delle potenze dell’utilizzatore (la potenza reale è già nota dal testo):

    Calcolo delle potenze in linea:

    Calcolo della perdita p_l%:

    Calcolo delle potenze in partenza della linea:

    La potenza apparente vale

    Da questo valore si deducono:

    La c.d.t. percentuale diventa

    Il rendimento della linea assume il valore percentuale:

Rifasamento

    Per realizzare all’arrivo della linea il f.d.p. richiesto (cosφ’_u=0,92, a cui corrisponde un valore di tanφ’_u=0,426) occorre rifasare l’impianto con una batteria di condensatori aventi una potenza reattiva

    Questa potenza, ammessa l’ipotesi della invariabilità dei 9kV all’arrivo anche dopo l’inserzione della batteria di condensatori, può realizzarsi con il collegamento a stella.

       In tal caso il valore della tensione di fase è ridotto di 1,73 volte rispetto al collegamento a triangolo: a una minore tensione e a un minor costo per l’isolamento corrisponde però una capacità 3 volte maggiore rispetto al collegamento a triangolo. Per basse tensioni si sceglie senz’altro il collegamento a triangolo, poiché il maggior costo si riferisce non all’isolamento, ma al valore di capacità.

.

    Ogni singola fase della batteria avrà la capacità espressa dalla (6):

    Pertanto la corrente che percorre la linea di alimentazione diminuirà, essendosi ridotta la potenza reattiva totale carico+condensatori, a parità di potenza attiva del carico:

    Analogamente si riducono:

    La potenza apparente in partenza vale

    Da questo dato si deducono la tensione e il f.d.p. in partenza dopo il rifasamento:

    Il rendimento della linea cresce al valore

    Una linea trifase in rame, lunga 8,5km, è disposta ai vertici di un triangolo equilatero di lato D=75cm. Alimenta all’arrivo, alla tensione concatenata U_a=10kV, f=50Hz, tre carichi equilibrati (fig.L2) di cui si conoscono i seguenti dati relativi alla tensione di 10kV:

P₁ = 200kW; cosφ₁ = 0,800 (r);

Q₂ = 300kvar; sinφ₂ = 0,600 (r);

S₃ = 180kVA; sinφ₃ = -0,600 (a)

    Determinare i parametri della linea per poter conseguire un rendimento della stessa non inferiore a η=0,92.

    Si calcoli inoltre la tensione in partenza e si verifichino la perdita joule percentuale e il nuovo rendimento, dopo la scelta della sezione commerciale che si riterrà più adatta.

    Per la scelta della sezione commerciale si consulti il Manuale di elettrotecnica – Cremonese, o le tabelle Unel.

    Per il teorema di Boucherot si determina un unico carico complessivo che è l'insieme di quelli forniti dal tema, dopo aver calcolato, di ognuno, le potenze reali e reattive.

cosφ₁ = 0,800 → tan φ₁=0,750; Q₁ = P₁ tan φ₁ = 150,0kvar (carico R-L);

sin φ₂=0,600 → tan φ₂=0,750; P₂ = Q₂ /tan φ₂ = 400kW (carico R-L);

P₃ = S₃ cos φ₃ = 144kW; Q₃ = S₃ sin φ₃ = -108kvar (carico R-C)

Calcolo delle potenze del carico complessivo:

P_a= P₁+P₂+ P₃=744kW (somma numerica); Q_a= Q₁+Q₂+ Q₃=342kvar (somma algebrica)

con potenza apparente complessiva e f.d.p. all’arrivo:

    La corrente assorbita dal carico complessivo è

    Dalla relazione scritta in precedenza, che lega il rendimento della linea alla perdita di potenza joule della stessa, si ricava

    Questi dati consentono di utilizzare l’espressione risolutiva per la sezione teorica (giustificata nella parte iniziale del §13, rel.(4) e seguenti):

    Si sceglie una sezione commerciale superiore, tenendo conto anche di ulteriori ampliamenti dell’utenza o dell’elevazione della corrente di linea nel caso di una riduzione del f.d.p. complessivo. Si sceglie pertanto una sezione commerciale

in cui "d" è il corrispondente diametro.

    Ora occorre calcolare resistenza e reattanza della linea, secondo le relazioni

    La c.d.t. industriale si determina con la nota relazione

e quindi la tensione concatenata in partenza della linea risulta

    La c.d.t. percentuale e la nuova perdita, dovuta alla maggiorazione della sezione rispetto a quella teorica, sono:

    Il rendimento percentuale della linea assume il valore

superiore a quello imposto per la progettazione, come deve essere, avendo scelto una sezione superiore a quella teorica richiesta.

    Sono noti i seguenti dati relativi allo schema di figura L3.

- Carico A a stella: potenza totale P_A = 15 kW; cosj_A = 0,866; U_A = 395 V; f=50 Hz.

- Linea A-B: per ogni filo R₁ = 0,06 W; X₁ = 0,05 W.

- Carico B: tre condensatori collegati a triangolo, ognuno con X_c = 80 W.

- Linea B-C: per ogni filo R₂ = 0,07 W; X₂ = 0,06 W.

    Calcolare tutte le correnti relative all'impianto, la tensione di partenza e il fattore di potenza nel punto C.

    Dalla fig.L3) si nota che il carico all’arrivo è collegato a stella: per la risoluzione è qui è indifferente la conoscenza del collegamento interno e quindi si possono calcolare i parametri ai morsetti del carico equilibrato senza entrare nel merito dei particolari interni alla … scatola nera. E’ invece importante, in base ai dati che fornisce il testo del tema, conoscere il collegamento dei condensatori, come carico trifase posto in B.

    Si calcola dapprima la corrente di linea assorbita dal carico all’arrivo, di cui si determina anche la potenza reattiva per poter applicare subito il teorema delle potenze.

    Le potenze del tratto AB si calcolano con le note relazioni

    Ecco i dati riferiti al punto B, esclusi ancora i condensatori (carico A + linea 1):

    La tensione nel nodo B vale pertanto

    Calcolo della potenza reattiva Q_c, di segno negativo, relativa alla batteria con condensatori a triangolo e quindi con i tre condensatori sottoposti alla tensione concatenata appena calcolata, presente nel punto B:

    La corrente I_c della linea che si deriva per i condensatori si calcola

    Ovviamente la potenza attiva della batteria viene trascurata, ritenendo per semplicità la batteria stessa un carico puramente capacitivo.

    Per il teorema delle potenze, appena a monte del nodo B, si può collocare un carico equivalente di potenze complessive:

    Da questa potenza nel nodo B, essendo la tensione sempre pari alla U_B, si ottiene la corrente I₂ totale che percorre il tratto CB della linea:

 

    La corrente totale I₂ si potrebbe determinare anche dalla somma vettoriale delle I_c e I₁, ma il procedimento sarebbe più laborioso. Si ricordi comunque che, rispetto alla U_{b_fase} la I_c è a 90° in anticipo e la I₁ è in ritardo di φ_1A rispetto alle tensioni stellate d'arrivo.

 

    Alla corrente I₂ corrispondono le potenze del tratto di linea CB:

    Finalmente si possono determinare i dati in partenza, nella sezione C d’ingresso:

    Il fattore di potenza in partenza così alto e la corrente di linea assorbita totale poco diversa dalla corrente assorbita dal tratto d’arrivo è da attribuire alla presenza dei condensatori posti nel nodo centrale B.

 

    Si conoscono i dati seguenti relativi allo schema di fig. L4).

- Carico A) a triangolo: potenza totale P_A = 25 kW; cosj_A = 0,750; U_a = 380V-50Hz.

- Linea A-B: per ogni filo R₁ = 0,03 W; X₁ = 0,04 W.

- Carico B: tre condensatori collegati a stella, ognuno con X_c = 40 W.

- Linea B-C: per ogni filo R₂ = 0,04 W; X₂ = 0,05 W.

    Calcolare tutte le correnti relative all'impianto, la tensione di partenza e il fattore di potenza nel punto C.

    Il carico trifase posto in A è collegato a triangolo, ma il tipo di collegamento non sposta il procedimento di calcolo: i carichi possono sempre ritenersi collegati a stella equivalente e pertanto la corrente che si determina sarà sempre intesa come corrente di linea.

    La corrente I₁assorbita dal carico all’arrivo e la potenza reattiva sono rispettivamente:

    Le potenze del tratto AB si calcolano con le relazioni

    Ecco i dati riferiti al punto B, esclusi ancora i condensatori (carico A + linea 1):

    La tensione nel nodo B vale pertanto

    Allo stesso risultato si può pervenire con l’espressione della c.d.t. industriale

    Calcolo della potenza reattiva Q_c, di segno negativo, relativa alla batteria con condensatori a stella e quindi con i tre condensatori sottoposti alla tensione stellata presente nel punto B:

    La corrente I_c della linea che si deriva per i condensatori si calcola

    Ovviamente la potenza attiva della batteria viene trascurata, ritenendola un carico puramente capacitivo.

    Per il teorema delle potenze, appena a monte del nodo B, si può collocare un carico equivalente di potenze complessive:

    Da questa potenza nel nodo B, essendo la tensione sempre pari alla U_B, si ottiene la corrente I₂ totale che percorre il tratto CB della linea:

    La corrente totale I₂ si potrebbe determinare anche dalla somma vettoriale delle I_c e I₁, ma il procedimento sarebbe più laborioso. Si ricordi comunque che, rispetto alla U_{b_fase} la I_c è a 90° in anticipo, mentre la I₁ è in ritardo di φ_1A rispetto alle tensioni stellate d'arrivo.

 

    Alla corrente I₂ corrispondono le potenze del tratto di linea CB:

    Finalmente si possono determinare i dati in partenza, nella sezione C d’ingresso:

    La valutazione della tensione di partenza con il metodo della c.d.t. industriale va fatta tenendo conto che la corrente è quella che percorre il tratto di linea BC e che lo sfasamento deve essere quello di tutto il carico che esiste nel punto di arrivo della linea, ovvero del carico complessivo nel nodo B (ovvero φ_B ricavato in precedenza).    

    Vale quindi l’espressione

               e quindi

    Una linea trifase, in cavo di rame, di sezione S=25mm², parte dalla cabina posta in A e alimenta un primo carico posto nella località B distante l₁=30m dalla cabina. Del carico trifase derivato in B si sono misurati la potenza assorbita P_B=8kW e il f.d.p. cosφ_B=0,600.

    Da B la linea raggiunge, a 50m di distanza (l₂), un secondo carico C che, alimentato alla tensione U_C=230V, assorbe una potenza P_C=12kW, cosφ_C=0,700.

    Tenendo conto della temperatura di funzionamento del cavo si assuma una resistività per il rame pari a 0,020Ωmm²/m. Si trascuri la reattanza del cavo, tenendo conto della sua breve lunghezza.

    Determinare:

· le correnti che interessano il cavo,

· le c.d.t.%,

· l’energia attiva assorbita dall’impianto in 30 giorni con lavorazione ritenuta costante per 8 ore al giorno.

· Rifasare l’impianto in partenza (punto A) al valore cosφ’=0,900, discutendone l’opportunità e ammettendo che, in seguito all’inserzione dei condensatori, la tensione in partenza non modifichi il valore calcolato inizialmente.

· Determinare le nuove grandezze dopo il rifasamento.

N.B.: si possono assumere, per cavi in rame, i seguenti valori di resistività, tenendo conto delle temperature medie di funzionamento:

· corrente <25% rispetto alla portata del cavo: ρ=0,018 Ωmm²/m

· corrente (25÷50)% rispetto alla portata del cavo : ρ=0,019 Ωmm²/m

· corrente (50÷80)% rispetto alla portata del cavo : ρ=0,020 Ωmm²/m

Calcolo della corrente assorbita dal carico posto in C e della sua potenza reattiva:

Si trascura la reattanza del cavo, come avviene in genere per lunghezze inferiori al kilometro.

Le potenze, appena a valle del nodo B, valgono

La tensione nel nodo B vale pertanto

Calcolo del modulo della corrente assorbita dal carico B:

Calcolo potenza reattiva del carico posto in B:

Calcolo in B delle potenze del carico equivalente, secondo Boucherot (appena a monte di B):

Calcolo della corrente totale assorbita dall’impianto, deducibile a monte del punto B:

Potenza joule nella linea 1:

Potenze in partenza, nel punto A:

    Rifasamento dell’impianto, nel punto A, al cosφ’=0,900 (tan φ’=0,4843).

    La batteria di condensatori di fig.L5 deve avere una potenza reattiva:

    Pertanto la potenza apparente e quella reattiva dell’intero impianto, compresi i condensatori, si riducono ai valori:

    In queste condizioni di lavoro e ritenendo costante la tensione U_A anche dopo aver inserito la batteria di rifasamento, la corrente che assorbe l’impianto complessivo, nel tratto di linea a monte del punto A, si riduce dal valore I₁ calcolato sopra, al seguente:

    Tuttavia le altre grandezze a valle della batteria non mutano e non vengono estesi i vantaggi della riduzione della corrente totale. Il vantaggio ci sarebbe se si rifasassero localmente sia il carico B, sia il carico C con due batterie in derivazione in quei punti. Solo così si ridurrebbero anche le correnti I₁ e I₂, con i relativi vantaggi e quindi anche con un minor consumo di energia per la riduzione delle perdite joule in linea.

    Calcolo delle c.d.t.% riferite ai due tratti di linea:

    Calcolo dell’energia in 30 giorni, per 8 ore al giorno, in kilowattora:

    Una linea trifase ha in partenza una tensione di 405V, f=50Hz e alimenta all’arrivo un’utenza che vi deve assorbire la potenza P_a di 6kW, con cosφ_a=0,820 (r). La linea ha una resistenza di 0,82Ω e una reattanza di 1,01Ω.

    Si determinino:

1) la tensione all’arrivo;

2) il rendimento della linea;

3) le indicazioni dei due wattmetri inseriti in Aron in partenza della linea.

1) Per la determinazione della tensione all’arrivo si impostano le seguenti equazioni:

Sostituendo la (1) nella (2) si ricava, dopo qualche passaggio, l’equazione di 2° grado da risolvere nell’incognita U_a :

che conduce alla tensione richiesta

Si trascura l’altra soluzione qui fisicamente non possibile, ma che rappresenta la c.d.t. industriale U_p-U_a=24,1V .

Dalla (1) si ricava la corrente assorbita dal carico (e quindi anche la corrente di linea)

I = 11,1A

La potenza persa per effetto joule in linea

consente di calcolare la potenza assorbita in partenza e poi

            2) il rendimento della linea:

 

 

Si calcolano ancora la potenza apparente e il cosφ_p nel punto di partenza della linea, ad esempio attraverso i valori

    3) Dall’inserzione Aron, chiamando A e B le due letture, si stabilisce il sistema formato dalle due relazioni (v. §3 e §3a "Misura delle potenze"):

    Ricavando ad esempio A dalla (3) e sostituendo nella (4) si possono determinare, dopo qualche passaggio:

A = 4467W; B = 1835W

    Agli stessi valori si può pervenire partendo invece dalle espressioni deducibili dal prodotto scalare dei singoli wattmetri (relazioni 6 e 7 del modulo "Misura di potenze", qui applicato per carichi equilibrati):

            Si sottolinea che il punto 3) del tema richiede di determinare le letture dei wattmetri inseriti in partenza, per cui i relativi valori di tensione e di sfasamento sono ovviamente alla partenza.

        Si è detto che la conoscenza del senso ciclico delle fasi può essere determinante in alcune applicazioni (stabilire con certezza il senso di rotazione di un motore asincrono o sincrono trifase, inserire correttamente i wattmetri per la misura della potenza reattiva).

        Lo strumento adatto alla determinazione del senso ciclico delle fasi è il sequenscopio, di tipo statico o di tipo rotante.

        Il principio su cui si basa lo strumento statico è l’accensione specifica di una lampada in seguito alla maggior tensione dovuta allo spostamento del centro stella. Della stella squilibrata fanno parte due lampade con uguali caratteristiche e un condensatore (fig. L7).

        Come si può notare dallo schema, dai risultati analitici riportati nella tabella e dal diagramma vettoriale, quando il senso ciclico della fasi è diretto (1-2-3 oppure 2-3-1 oppure 3-1-2) si accende in modo evidente la lampada L_A, la cui freccia corrispondente, riportata sull'apparecchio, indica qual è il senso ciclico delle fasi che alimentano il sequenscopio.

        Se, viceversa, ad accendersi in modo evidente è la lampada L_B, il senso ciclico delle fasi è quello inverso (3-2-1 oppure 1-3-2 oppure 2-1-3). In corrispondenza della lampada che si accende, la relativa freccia indica la successione ciclica dei tre fili di linea che sono collegati ai morsetti dello ‘scatolino’ chiamato sequenscopio.

        Per evitare dubbi sull’accensione di una delle due lampade (quella sottoposta alla minor tensione conseguente allo spostamento del centro stella) si impiegano spesso lampade al neon (al di sotto di un certo valore di tensione non emettono luce e quindi se ne illumina una sola).

        I risultati del calcolo, relativi allo spostamento del centro stella, alle tensioni effettive e alle correnti assorbite, sono riassunti in tabella.

    Nella risoluzione dei temi proposti si è sempre ritenuto che il senso ciclico sia quello diretto.  Si noti che il senso ciclico non cambia permutando semplicemente l’ordine dei riferimenti (1-2-3 equivale a 2-3-1, a 3-1-2, ma non a 2-1-3, ad esempio).

prof. Attilio Barra e-mail: elettrotecnica@barrascarpetta.org

prof. Antonio Scarpetta e-mail:  laboratorio@barrascarpetta.org

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