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M
o d u l o 2
C o r r e n t i a l t e r n a t e –
S i s t e m i M O N O F A S E
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Unità 5
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Circuiti
reali in regime sinusoidale - Impedenza
Nella parte precedente si sono
visti i circuiti ideali, cosiddetti puri, cioè formati da una sola componente.
Tuttavia un qualsiasi conduttore ha la propria resistenza
e la corrente che lo percorre produce un flusso che gli si concatena, con
relativa induttanza; inoltre la vicinanza di altri conduttori giustifica
una capacità.
Le grandezze citate sono distribuite lungo
esso, ma per semplicità di calcolo i parametri vengono concentrati in un
elemento resistivo, in uno induttivo e in uno capacitivo.
Nei circuiti reali i parametri presenti negli
schemi che si studiano sono quindi individualmente ideali, cioè sono parametri
concentrati, ma tutti insieme contribuiscono a far sì che il circuito
in questione tenga conto della propria effettiva costituzione. L’elemento
assente viene quindi ritenuto nullo o comunque trascurabile nei
limiti delle approssimazioni che si stanno considerando, rispetto agli altri
parametri presenti. Ideali si ritengono i collegamenti dei conduttori tra i
suddetti parametri.
Ad esempio quando si rappresenta
un avvolgimento occorre tener conto del tipo di conduttore: natura, lunghezza e
sezione che essenzialmente ne definiscono la resistenza R . Inoltre
l’avvolgimento stesso presenterà una induttanza L più o meno elevata
a seconda che sia avvolto ad esempio su un supporto in legno, anziché su un
nucleo in ferro.
Semmai possono trascurarsi le
capacità C fra spira e spira, ma nella rappresentazione utile al calcolo
delle correnti e tensioni in gioco si distinguono, separatamente, resistenza e
reattanza, cioè elementi concentrati, che si ritengono costanti.
Sostanzialmente il concetto di impedenza rappresenta
l’ostacolo che interessa lo studio del comportamento in regime sinusoidale e
in tal caso ad essa contribuiscono la resistenza e la reattanza induttiva, nel
modo che ora si descriverà.
L’impedenza
è un operatore complesso che esprime il legame tra la
tensione presente ai suoi estremi e la corrente, che variano nel tempo (noi
esaminiamo qui grandezze sinusoidali), mentre essa non è funzione del tempo.
L’impedenza è l’ostacolo al
passaggio della corrente e, a differenza del comportamento in corrente
continua dove l’ostacolo è rappresentato dalla resistenza (l’induttanza
si comporta come un corto circuito, la capacità come un circuito interrotto), in
corrente alternata l’ostacolo tiene conto anche delle eventuali reattanza
induttiva XL e reattanza capacitiva XC .
Tutti questi ostacoli sono
misurati in ohm [W]
.
L’impedenza viene calcolata
dal rapporto fra la caduta di tensione ai suoi capi e la corrente che la
percorre, se i componenti ideali sono in serie:
e tutte e tre le grandezze sono
qui interpretate come numeri complessi.
Tenendo presenti le conclusioni
riportate in fig.7 del paragrafo precedente, si considerano ora circuiti reali
costituiti dalla serie R-L e
R-C e da collegamenti misti serie-parallelo.
11a)_Circuito ohmico-induttivo R-L
con resistenza e reattanza in serie. Impedenza
In figura 1) vi è lo schema
riferito ad un generatore di tensione sinusoidale, di valore efficace U,
che alimenta la serie di una resistenza R e di una bobina di induttanza L,
la cui reattanza induttiva vale
XL
= ω L
= 2πf L
[Ω]
La corrente che attraversa gli
ostacoli “resistenza e reattanza induttiva” è la stessa e dà luogo a due
cadute di tensione:
UR ai
capi della resistenza R, in fase con la corrente (fig. 1b);
UL ai
capi della reattanza induttiva XL, in anticipo di 90°
rispetto alla corrente stessa.
La loro somma U,
di tipo vettoriale
è la c.d.t. totale ai capi dell’impedenza Z e
coincide anche, naturalmente, con
la tensione che deve fornire il generatore (fig.1).
L’impedenza induttiva Z
rappresenta l’ostacolo totale
offerto dal circuito in esame al passaggio della corrente.
Figura 1)
a) Schema del circuito serie ohmico
induttivo; b) diagramma vettoriale
tensioni-corrente – triangolo delle cadute di tensione; c)
triangolo dell’impedenza. Si osservi che i lati del triangolo
dell’impedenza non sono vettori, poiché, come si ricorderà, si era assunto
di associare alle grandezze sinusoidali i vettori (qui i lati del triangolo
non corrispondono a sinusoidi).
Il calcolo mediante i moduli,
che va effettuato considerando la posizione dei vettori nel piano di Gauss,
porta ai risultati seguenti (fig. 1b e 1c):
Dai triangoli simili delle cadute di tensione
(vettori) e dell’impedenza si può dedurre anche lo sfasamento di cui la
tensione totale anticipa la corrente che percorre l’impedenza (è lo stesso
dire che la corrente è in ritardo rispetto alla
tensione ai capi dell’impedenza) L’angolo
si può ricavare, ad esempio, da una delle seguenti relazioni
trigonometriche:
ESEMPIO
Un generatore alimenta, con
tensione sinusoidale di frequenza f=50Hz, il circuito di fig.1 a)
erogando una corrente di valore efficace I=4A. L’impedenza è
costituita da una bobina di induttanza L=8,6mH e la resistenza
complessiva dell’avvolgimento risulta essere R=2Ω. Ritenendo
costante l’induttanza della bobina si calcolino le cadute di tensione e la
tensione, in valore efficace, che deve fornire il generatore.
_________
Si calcola la reattanza con
l’espressione
XL
= ω · L = 2πf
· L = 314 · 8,6 · 10-3 =
2,702 Ω
La corrente dà luogo alla
caduta UR in fase con essa e alla UX
a 90° in anticipo. Per determinare la tensione totale U si segue
il procedimento indicato, ottenendo:
in cui l’impedenza, ostacolo complessivo del
circuito, è
Passando ai moduli:
che rappresenta il valore
efficace richiesto.
Desiderando conoscere il modulo
dell’impedenza si calcola
Lo sfasamento di cui la tensione
totale anticipa la corrente e quindi lo sfasamento caratteristico
dell’impedenza si può determinare ad esempio così:
In fig. 1b) è rappresentato il diagramma
vettoriale, che si è tracciato ponendo sull’asse reale la corrente, nota dal
testo. Rispetto alla corrente vengono rappresentate le cadute di tensione e di
conseguenza la tensione totale U , in anticipo di 53,49°.
La soluzione si può anche determinare
graficamente, riportando in scala le tensioni.
Per inciso si osserva che, dovendo rappresentare in
scala anche le correnti, la scala scelta non è generalmente la stessa. La
scelta va fatta in base allo spazio che si ha a disposizione e all’evidenza
che si vuole assegnare alle grandezze.
Osservazione
Nelle applicazioni numeriche, soprattutto per chi
non ha ancora dimestichezza per questi procedimenti, si faccia bene attenzione a
tener conto delle posizioni dei vettori.
Di conseguenza si ricordi che, a differenza di quanto
accade in corrente continua, le somme sono sempre vettoriali, sia che si sommino
tensioni, sia che si sommino correnti, sia che si sommino impedenze in serie.
Infatti 4+3 non fa 7!!!! a meno che il vettore di
modulo 4 e quello di modulo 3 sia allineati, con stessa direzione e stesso
segno!!! Nell’esempio riportato sopra, la somma delle c.d.t. UR
e UX non è numerica, ma vettoriale: i due vettori
rappresentativi sono fra loro a 90° e quindi la somma si è potuta dedurre, in
modulo, con il teorema di Pitagora.
11b)_Circuito
ohmico-capacitivo R-C con
resistenza e capacità in serie. Impedenza
Figura
2 a)
Circuito R-C serie; b) diagramma
tensioni-corrente e triangolo delle cadute di tensione; c)
triangolo dell’impedenza.
Rispetto al circuito R-L, qui la presenza
del condensatore di capacità C che ritarda la propria caduta di tensione
di 90°, porta a spostare anche in ritardo la tensione totale rispetto alla
corrente (dell’angolo φ, inteso negativo perché contato con verso orario
a partire dalla posizione dell’asse reale positivo del piano di Gauss).
Le considerazioni precedenti
sono quindi influenzate dal segno meno della reattanza capacitiva –jXC
, che si calcola, in modulo:
Pertanto, con riferimento alla
fig. 2, si scrivono le seguenti relazioni:
in cui l’impedenza totale del circuito
ohmico-capacitivo è
I moduli e l’argomento si
determinano così:
ESEMPIO
Un generatore alimenta, con
tensione sinusoidale di frequenza f=50Hz e valore efficace 230V, il
circuito di fig.2 a). L’impedenza è costituita da una resistenza R=100Ω,
mentre la capacità ad essa in serie è di 10μF . Si calcolino la corrente
nel circuito, le cadute di tensione e si rappresenti il diagramma vettoriale
tensioni-corrente.
______
Per la soluzione si calcola
dapprima l’impedenza, per poi passare alla valutazione della corrente in
modulo e fase e al tracciamento del diagramma.
Si assume la tensione fornita
dal testo sull’asse reale (fig.3b), per cui vettorialmente la tensione viene
rappresentata con la sola parte reale. La corrente e le cadute di tensione
saranno quindi riferite alla posizione del vettore tensione. Sostanzialmente il
diagramma di fig. 2c) è come se fosse ruotato in senso antiorario dell’angolo
caratteristico φ dell’impedenza: la corrente è comunque in anticipo
rispetto alla tensione totale U fornita dal generatore (fig. 3b).
Calcolo della reattanza
capacitiva:
1) soluzione con metodo vettoriale:
Ricordando che nel rapporto fra
numeri complessi occorre moltiplicare numeratore e denominatore per il complesso
coniugato del denominatore, si calcola la corrente
con modulo
2) Soluzione con i moduli:
3) Soluzione con metodo
esponenziale:
·
Si verifichi che la somma vettoriale delle c.d.t. parziali dà la
tensione del generatore.
·
Il valore massimo di tensione che deve sopportare il condensatore
e per il quale va dimensionato l’isolamento è
Figura 3a)
Triangolo dell’impedenza capacitiva; b) diagramma vettoriale avente come
riferimento sull’asse reale la tensione totale assegnata dal problema. Le
tensioni e il triangolo dell’impedenza rispettano le proporzioni in base alle
rispettive scale (qui non indicate).
prof. Attilio Barra e-mail: elettrotecnica@barrascarpetta.org
prof. Antonio Scarpetta e-mail: laboratorio@barrascarpetta.org
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