Magnetismo - Modulo 1 Unità 8

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M o d u l o 1

M a g n e t i s m o

<<== <= U n i t à 8

Un conduttore (una spira, un solenoide) percorso da corrente produce nella regione circostante un campo magnetico.

La legge di Ampère, nella forma più elementare, lega la corrente e l’intensità del vettore H con la relazione

Nell’esempio di figura 1 vi è un nucleo di materiale ferromagnetico che possiede, sulla colonna di sinistra, un solenoide con N spire percorse da una corrente nota I .

Tutte le linee del campo magnetico prodotto dal solenoide si racchiudono uniformemente nel nucleo e attraversano ad esempio la sezione di area S, identica, per la simmetria di quella figura, in ogni parte della struttura raffigurata.

Il verso del flusso viene determinato ad esempio con la regoletta pratica secondo la quale, ponendo le dita della mano destra con le punte dirette nel verso della corrente che percorre il solenoide, il pollice dà il verso delle linee del campo e quindi del flusso f.

Le linee del campo magnetico tagliano N volte la corrente I, per cui la I_tot della rel.(1) è data dal prodotto NI.

Esprimendo nella (1) il vettore H in funzione del vettore B e ricordando la definizione di densità di flusso B=f/S si può scrivere:

l’ostacolo al flusso, come la resistenza è l’ostacolo alla corrente nel circuito elettrico.

La riluttanza cresce infatti col crescere della lunghezza del percorso magnetico del flusso, mentre è inversamente proporzionale alla permeabilità del materiale (facilità a lasciarsi attraversare) e alla sezione (quanto più è alta, tanto minore è l’ostacolo al flusso).

· il flusso che interessa il circuito magnetico con la corrente che percorre il circuito elettrico

· la tensione magnetica o forza magnetomotrice F (f.m.m.) con la tensione elettrica U prodotta da un generatore elettrico

La tensione magnetica ha origine dal passaggio di corrente, ad esempio, nel solenoide di fig.1 e si calcola con uno dei due prodotti equivalenti

Se si considera un percorso tra due punti A e B della linea l, il lavoro del vettore H lungo qualsiasi tragitto che parte da A e termina in B viene detto tensione magnetica fra quegli stessi punti. E se la linea che va da A a B coincide con una parte del percorso delle linee di un campo uniforme si ha

La riluttanza è riferita al percorso magnetico, nota la permeabilità che è funzione del vettore B e quindi del flusso.

In un circuito magnetico, per poter impegnare un certo flusso Φ, è necessaria una forza magnetomotrice NI data dalla (4) che si ottiene, ad esempio, con un solenoide di N spire percorse da corrente (la corrente di eccitazione).

L’ostacolo al flusso, ovvero la riluttanza è funzione della permeabilità assoluta del materiale, che dipende a sua volta dalla magnetizzazione del nucleo e quindi dal vettore B in quelle condizioni.

In genere si determina il valore di B da tabelle o da grafici corrispondenti ai vari materiali ferromagnetici in uso (fig.4).

Si può interpretare la (6) dicendo che il lavoro svolto dal vettore H lungo una linea chiusa qualsiasi equivale alla somma algebrica delle correnti che nel loro insieme si concatenano con la linea stessa. Il prodotto NI è infatti la somma delle correnti che si concatenano con la linea chiusa. Il lavoro suddetto viene detto circuitazione del vettore lungo la linea chiusa scelta come percorso.

La (5) consente di chiarire ancora la (6), vista come somma delle tensioni magnetiche che si calcolano lungo i percorsi parziali della stessa linea chiusa l; questa somma coincide con la forza magnetomotrice che si concatena con quella linea.

Figura 2) Confronto fra circuito elettrico e circuito magnetico. Grandezze corrispondenti.

Figura 3) Circuito magnetico con traferro, in cui sono costanti le sezioni trasversali S.

Inizialmente si suddivide il circuito in esame in elementi con stesse caratteristiche (rami identici, traferri, parti di circuito con stessa geometria e stesso materiale).

Si possono presentare due casi di risoluzione, che si basano sui dati conosciuti e sulle richieste da soddisfare.

Vediamo separatamente il caso 1), che a sua volta può risolversi con i sottocasi a) e b). e il caso 2).

1) Stabilito il flusso in un circuito di cui si conoscono le caratteristiche geometriche e magnetiche, si determini la corrente di magnetizzazione che lo genera.

Si calcolano le induzioni nel materiale e nell’aria che, tralasciando l’aumento di sezione del percorso delle linee in aria, coincidono.

Dalle curve (v. fig.4) o dalle tabelle si deduce, noto il valore di B, il corrispondente valore di H per il tratto di materiale considerato.

Dal prodotto fra H e la lunghezza media l_m del nucleo si ottiene la tensione magnetica dovuta per il solo nucleo.

Si ripete il calcolo con la lunghezza del traferro l_t, determinando H_t=B_t/μ_t e la relativa tensione magnetica.

Le amperspire totali si deducono dalla somma delle tensioni magnetiche dei due rami in serie, in base al teorema della circuitazione (6) visto sopra:

Infine dalla (7) si ricava la corrente di magnetizzazione richiesta per l’imposizione del flusso stabilito nel circuito:

Nella risoluzione dei circuiti magnetici si utilizza ampiamente l’analogia con la legge di Ohm, per cui si troveranno percorsi con riluttanze in serie, in parallelo, percorsi con rami in collegamento misto, ma si applicano le stesse regole valide per i circuiti con resistenze elettriche, operando per semplicità in condizioni di linearità.

Sempre nel caso di fig.3 che si sta descrivendo è possibile calcolare la riluttanza dei due tratti del percorso della linea chiusa

2) Un secondo caso che si può presentare, più complesso del precedente per i calcoli, è il seguente: nota la corrente magnetizzante determinare il flusso nella struttura magnetica.

Poiché il valore della permeabilità assoluta è legato al valore del vettore B, il quale a sua volta dipende dal flusso Φ che è ancora incognito, occorre allora attribuire a questo un valore casuale e calcolare la corrente di eccitazione come si è proceduto per il caso 1).

Si fa il confronto con il valore fornito dal problema e, poiché sicuramente ne differirà, si ripete il calcolo e si procede per successive approssimazioni finché la corrente ottenuta è sufficientemente vicina a quella del dato fornito dal problema.

Dalla (3) del §6, con le considerazioni là esposte, si ricava una relazione importante per gli avvolgimenti di N spire il cui nucleo ha permeabilità e geometria note:

Da qui risulta quindi che l’induttanza della bobina è direttamente proporzionale al quadrato delle spire e inversamente proporzionale alla riluttanza del proprio circuito magnetico.

_Imprecisioni nei calcoli riferiti ai circuiti magnetici

Nelle applicazioni di calcolo occorre prevedere delle approssimazioni che essenzialmente dipendono dai seguenti motivi.

· Vi sono delle linee di flusso che possono fuoriuscire dal percorso principale e richiudersi attraverso l’aria, senza interessare tutto il restante circuito magnetico. Nelle macchine elettriche si parlerà infatti spesso di flussi dispersi, che non contribuiscono al flusso utile

· La riluttanza non è costante per lo stesso materiale, ma dipende dalle condizioni di saturazione anche se, in genere, si considerano per semplicità andamenti lineari.

· Nel calcolo della riluttanza si seguono percorsi secondo linee medie, che non riflettono esattamente il percorso vero (non ci sono spigoli, ma percorsi arrotondati, smussati).

· Nei traferri il percorso delle linee di campo non segue rigorosamente la geometria del materiale ferromagnetico, ma tende ad allargarsi all’uscita nell’aria e poi a restringersi nuovamente all’entrata nel ferro, con un effetto sui bordi non esattamente prevedibile (come in fig.5). Sovente nei problemi si aumenta la sezione trasversale nel traferro di circa il 5% rispetto alla sezione del ferro (si veda l’esempio numerico successivo).

Queste incertezze condizionano dunque la precisione nei calcoli relativi ai circuiti magnetici.

Figura 4) Curve di magnetizzazione di materiali ferromagnetici. Si noti la tendenza asintotica alla curva B(H) del vuoto, per alti valori del vettore H dei materiali ferromagnetici.

- Esempio -

Il circuito magnetico di fig.3, in acciaio usato per nuclei di relè, eccitato in corrente continua, presenta i seguenti dati:

Desiderando ottenere nel circuito un flusso pari a 0,6mWb e ritenendo che nel traferro, in seguito alla conformazione delle linee di flusso la sezione media interessata subisca un aumento del 5%, si calcolino:

1. la corrente di eccitazione necessaria a produrre il flusso richiesto col metodo delle cadute di tensione magnetiche;

3. si ripeta il calcolo nel caso in cui il circuito in esame sia privo di traferro.

Soluzione

e dalle curve di magnetizzazione di fig.4, per questo valore e per il materiale in esame, si ha un vettore H_m di 100A/m .

Figura 5) Possibile andamento delle linee di flusso in un traferro, con allargamento ai bordi.

La f.m.m. totale, somma dei valori delle tensioni magnetiche nel ferro e in aria è, sostituendo i valori noti:

dai valori sopra calcolati si determina la permeabilità assoluta della parte in acciaio

dà lo stesso risultato corrispondente alla f.m.m. appena calcolata col metodo delle tensioni magnetiche. Da questo risultato, dividendo per il numero di spire N della bobina di eccitazione, si ricava la corrente richiesta, come prima.

3. Se il circuito di fig.3 è privo di traferro come quello di fig.1 e la lunghezza della linea media è dunque l_m=40cm, seguendo lo stesso procedimento riferito esclusivamente al ferro, con sezione trasversale del nucleo sempre di 10cm², la f.m.m. richiesta si riduce a 40A/m, per cui la corrente di magnetizzazione necessaria a produrre il flusso richiesto di 0,6mWb si riduce a 0,08A.

La presenza dunque di un pur piccolo traferro modifica sensibilmente il risultato finale del calcolo della corrente magnetizzante. Addirittura se nella risposta 1. si trascurasse il calcolo della parte in ferro, la f.m.m. richiesta differirebbe di appena 39,8 A/m rispetto ai 909A/m impegnati per il traferro.

Alla stessa conclusione si perviene confrontando le riluttanze riferite ai due diversi tratti del circuito magnetico.

Domande di riepilogo

· Assicurarsi di conoscere bene le definizioni di tutte le grandezze incontrate nel modulo e le rispettive unità di misura.

· Come si può evidenziare, sperimentalmente, la presenza di un campo magnetico?

· Rappresentare l’andamento e il verso delle linee di campo prodotte da un filo, da una spira e da un solenoide percorsi da corrente.

· Chiarire come mai la permeabilità di un materiale ferromagnetico varia al variare di B.

· In quali modi si può ottenere variazione di flusso utilizzabile per la produzione di f.e.m. indotta?

· In quale modo si può produrre una d.d.p. ai capi di un conduttore mediante un campo magnetico?

· In quale modo e in quali condizioni un campo magnetico produce una forza su un conduttore?

· Abituarsi ad applicare correttamente la regola della mano destra ad un caso pratico e modificare successivamente il verso del campo e/o della velocità per rideterminare il verso della f.e.m. indotta.

· Idem con la regola della mano sinistra, invertendo successivamente il verso della corrente nel conduttore e/o il verso del campo.

· Fenomeno di autoinduzione e di mutua induzione, giustificati con le rispettive relazioni fondamentali per la determinazione delle f.e.m. indotte.

· Quali azioni agiscono fra conduttori vicini e percorsi da corrente? Come si possono modificare tali azioni?

· Come si determinano l’unità di misura dell’induttanza e della riluttanza?

· Da quali parametri dipende l’induttanza di un solenoide avvolto su un nucleo di materiale ferromagnetico? Cosa cambia se il materiale che forma il nucleo non è ferromagnetico