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Correnti
alternate – Sistemi MONOFASE
Nella parte precedente si sono visti i circuiti ideali, cosiddetti puri, cioè formati da una sola componente.
Tuttavia un qualsiasi conduttore ha la propria resistenza e la corrente che lo percorre produce un flusso che gli si concatena, con relativa induttanza; inoltre la vicinanza di altri conduttori giustifica una capacità.
Le grandezze citate sono distribuite lungo esso, ma per semplicità di calcolo i parametri vengono concentrati in un elemento resistivo, in uno induttivo e in uno capacitivo.
Nei circuiti reali i parametri presenti negli schemi che si studiano sono quindi individualmente ideali, cioè sono parametri concentrati, ma tutti insieme contribuiscono a far sì che il circuito in questione tenga conto della propria effettiva costituzione. L’elemento assente viene quindi ritenuto nullo o comunque trascurabile nei limiti delle approssimazioni che si stanno considerando, rispetto agli altri parametri presenti. Ideali si ritengono i collegamenti dei conduttori tra i suddetti parametri.
Ad esempio quando si rappresenta un avvolgimento occorre tener conto del tipo di conduttore: natura, lunghezza e sezione che essenzialmente ne definiscono la resistenza R . Inoltre l’avvolgimento stesso presenterà una induttanza L più o meno elevata a seconda che sia avvolto ad esempio su un supporto in legno, anziché su un nucleo in ferro.
Semmai possono trascurarsi le capacità C fra spira e spira, ma nella rappresentazione utile al calcolo delle correnti e tensioni in gioco si distinguono, separatamente, resistenza e reattanza, cioè elementi concentrati, che si ritengono costanti. Sostanzialmente il concetto di impedenza rappresenta l’ostacolo che interessa lo studio del comportamento in regime sinusoidale e in tal caso ad essa contribuiscono la resistenza e la reattanza induttiva, nel modo che ora si descriverà.
L’impedenza
è un operatore complesso che esprime il legame tra la
tensione presente ai suoi estremi e la corrente, che variano nel tempo (noi
esaminiamo qui grandezze sinusoidali), mentre essa non è funzione del tempo.
L’impedenza è l’ostacolo al
passaggio della corrente e, a differenza del comportamento in corrente
continua dove l’ostacolo è rappresentato dalla resistenza (l’induttanza
si comporta come un corto circuito, la capacità come un circuito interrotto), in
corrente alternata l’ostacolo tiene conto anche delle eventuali reattanza
induttiva XL e reattanza capacitiva XC .
Tutti questi ostacoli sono misurati in ohm [W] .
L’impedenza viene calcolata dal rapporto fra la caduta di tensione ai suoi capi e la corrente che la percorre, se i componenti ideali sono in serie:
e tutte e tre le grandezze sono
qui interpretate come numeri complessi.
Tenendo presenti le conclusioni riportate in fig.7 del paragrafo precedente, si considerano ora circuiti reali costituiti dalla serie R-L e R-C e da collegamenti misti serie-parallelo.
In figura 1) vi è lo schema riferito ad un generatore di tensione sinusoidale, di valore efficace U, che alimenta la serie di una resistenza R e di una bobina di induttanza L, la cui reattanza induttiva vale
XL
= ω L
= 2πf L
[Ω]
La corrente che attraversa gli ostacoli “resistenza e reattanza induttiva” è la stessa e dà luogo a due cadute di tensione:
UR ai capi della resistenza R, in fase con la corrente (fig. 1b);
UL ai capi della reattanza induttiva XL, in anticipo di 90° rispetto alla corrente stessa.
La loro somma U, di tipo vettoriale
è la c.d.t. totale ai capi dell’impedenza Z e coincide anche, naturalmente, con la tensione che deve fornire il generatore (fig.1).
L’impedenza induttiva Z
rappresenta l’ostacolo totale offerto dal circuito in esame al passaggio della corrente.
Figura 1) a) Schema del circuito serie ohmico induttivo; b) diagramma vettoriale tensioni-corrente – triangolo delle cadute di tensione; c) triangolo dell’impedenza. Si osservi che i lati del triangolo dell’impedenza non sono vettori, poiché, come si ricorderà, si era assunto di associare alle grandezze sinusoidali i vettori (qui i lati del triangolo non corrispondono a sinusoidi).
Il calcolo mediante i moduli, che va effettuato considerando la posizione dei vettori nel piano di Gauss, porta ai risultati seguenti (fig. 1b e 1c):
Dai triangoli simili delle cadute di tensione (vettori) e dell’impedenza si può dedurre anche lo sfasamento di cui la tensione totale anticipa la corrente che percorre l’impedenza (è lo stesso dire che la corrente è in ritardo rispetto alla tensione ai capi dell’impedenza) L’angolo si può ricavare, ad esempio, da una delle seguenti relazioni trigonometriche:
ESEMPIO
Un generatore alimenta, con tensione sinusoidale di frequenza f=50Hz, il circuito di fig.1 a) erogando una corrente di valore efficace I=4A. L’impedenza è costituita da una bobina di induttanza L=8,6mH e la resistenza complessiva dell’avvolgimento risulta essere R=2Ω. Ritenendo costante l’induttanza della bobina si calcolino le cadute di tensione e la tensione, in valore efficace, che deve fornire il generatore.
_________
Si calcola la reattanza con l’espressione
XL
= ω · L = 2πf
· L = 314 · 8,6 · 10-3 =
2,702 Ω
La corrente dà luogo alla caduta UR in fase con essa e alla UX a 90° in anticipo. Per determinare la tensione totale U si segue il procedimento indicato, ottenendo:
in cui l’impedenza, ostacolo complessivo del circuito, è
Passando ai moduli:
che rappresenta il valore
efficace richiesto.
Desiderando conoscere il modulo dell’impedenza si calcola
Lo sfasamento di cui la tensione totale anticipa la corrente e quindi lo sfasamento caratteristico dell’impedenza si può determinare ad esempio così:
In fig. 1b) è rappresentato il diagramma vettoriale, che si è tracciato ponendo sull’asse reale la corrente, nota dal testo. Rispetto alla corrente vengono rappresentate le cadute di tensione e di conseguenza la tensione totale U , in anticipo di 53,49°.
La soluzione si può anche determinare graficamente, riportando in scala le tensioni.
Per inciso si osserva che, dovendo rappresentare in scala anche le correnti, la scala scelta non è generalmente la stessa. La scelta va fatta in base allo spazio che si ha a disposizione e all’evidenza che si vuole assegnare alle grandezze.
Osservazione
Nelle applicazioni numeriche, soprattutto per chi non ha ancora dimestichezza per questi procedimenti, si faccia bene attenzione a tener conto delle posizioni dei vettori.
Di conseguenza si ricordi che, a differenza di quanto
accade in corrente continua, le somme sono sempre vettoriali, sia che si sommino
tensioni, sia che si sommino correnti, sia che si sommino impedenze in serie.
Infatti 4+3 non fa 7!!!! a meno che il vettore di
modulo 4 e quello di modulo 3 sia allineati, con stessa direzione e stesso
segno!!! Nell’esempio riportato sopra, la somma delle c.d.t. UR
e UX non è numerica, ma vettoriale: i due vettori
rappresentativi sono fra loro a 90° e quindi la somma si è potuta dedurre, in
modulo, con il teorema di Pitagora.
Figura 2 a) Circuito R-C serie; b) diagramma tensioni-corrente e triangolo delle cadute di tensione; c) triangolo dell’impedenza.
Rispetto al circuito R-L, qui la presenza del condensatore di capacità C che ritarda la propria caduta di tensione di 90°, porta a spostare anche in ritardo la tensione totale rispetto alla corrente (dell’angolo φ, inteso negativo perché contato con verso orario a partire dalla posizione dell’asse reale positivo del piano di Gauss).
Le considerazioni precedenti sono quindi influenzate dal segno meno della reattanza capacitiva –jXC , che si calcola, in modulo:
Pertanto, con riferimento alla fig. 2, si scrivono le seguenti relazioni:
in cui l’impedenza totale del circuito ohmico-capacitivo è
I moduli e l’argomento si determinano così:
ESEMPIO
Un generatore alimenta, con tensione sinusoidale di frequenza f=50Hz e valore efficace 230V, il circuito di fig.2 a). L’impedenza è costituita da una resistenza R=100Ω, mentre la capacità ad essa in serie è di 10μF . Si calcolino la corrente nel circuito, le cadute di tensione e si rappresenti il diagramma vettoriale tensioni-corrente.
______
Per la soluzione si calcola dapprima l’impedenza, per poi passare alla valutazione della corrente in modulo e fase e al tracciamento del diagramma.
Si assume la tensione fornita
dal testo sull’asse reale (fig.3b), per cui vettorialmente la tensione viene
rappresentata con la sola parte reale. La corrente e le cadute di tensione
saranno quindi riferite alla posizione del vettore tensione. Sostanzialmente il
diagramma di fig. 2c) è come se fosse ruotato in senso antiorario dell’angolo
caratteristico φ dell’impedenza: la corrente è comunque in anticipo
rispetto alla tensione totale U fornita dal generatore (fig. 3b).
Calcolo della reattanza capacitiva:
1) soluzione con metodo vettoriale:
Ricordando che nel rapporto fra numeri complessi occorre moltiplicare numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore, si calcola la corrente
con modulo
2) Soluzione con i moduli:
3) Soluzione con metodo esponenziale:
· Si verifichi che la somma vettoriale delle c.d.t. parziali dà la tensione del generatore.
· Il valore massimo di tensione che deve sopportare il condensatore e per il quale va dimensionato l’isolamento è
Figura 3a) Triangolo dell’impedenza capacitiva; b) diagramma vettoriale avente come riferimento sull’asse reale la tensione totale assegnata dal problema. Le tensioni e il triangolo dell’impedenza rispettano le proporzioni in base alle rispettive scale (qui non indicate).
prof. Attilio Barra e-mail: elettrotecnica@barrascarpetta.org
prof. Antonio Scarpetta e-mail: laboratorio@barrascarpetta.org
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