2_Campo magnetico prodotto da un conduttore rettilineo, di lunghezza infinita

Per determinare il vettore B prodotto da un conduttore rettilineo, percorso da corrente, in un punto qualsiasi della regione che lo circonda, con una trattazione che fa uso dell’analisi infinitesimale, si perviene alla relazione

dalla quale si evidenzia che il vettore B diminuisce in intensità quanto più ci si allontana dal conduttore.

Figura 1 a): vettore B prodotto da un conduttore rettilineo percorso da corrente; b) sua intensità al variare della distanza ‘r’ dal conduttore.

Anziché considerare un conduttore di lunghezza infinita è comunque sufficiente che la distanza sia ridotta rispetto alla lunghezza effettiva del conduttore rettilineo percorso da corrente.

Dalla (1):

Lungo la circonferenza di raggio R il vettore H ha intensità costante in modulo. La sommatoria del vettore estesa alla lunghezza del percorso di una linea di campo (l = 2pR) è data dalla relazione

Questa legge è valida in generale e afferma che l’integrale del vettore H lungo qualsiasi percorso chiuso coincide con la corrente concatenata col percorso stesso, qualunque esso sia (legge di Ampère) (v. §8). 

Esempio: Una corrente di 20A percorre un conduttore rettilineo (fig.1a) di diametro D=2,5mm posto in aria (m_o=12,56 10^-7 H/m, m_r=1).

Si determini il vettore B nello spazio circostante, a partire dal bordo del conduttore e, in particolare, a distanza R=1,25cm dal centro del conduttore stesso.

Sulla superficie si ha

Alla distanza R=0,0125m il vettore B si riduce, essendo il suo modulo inversamente proporzionale alla distanza. Il valore assunto vale ora 1/10 del precedente, che era il valore massimo.

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        _Campo magnetico prodotto da un solenoide

Un numero di spire N avvolte su un supporto cilindrico costituisce un solenoide. Se all’interno del solenoide si introduce un nucleo di materiale ferromagnetico si ottiene una elevata densità di flusso B, rispetto al caso privo di nucleo (aria o vuoto).

Figura 2 a) Campo magnetico prodotto da un solenoide: le linee  escono dal nord per rientrare, esternamente, nel sud;    b) alcune linee di campo che si compensano in parte e originano l’andamento risultante in c);    d): regola della mano destra in cui il pollice dà il verso oppure, guardando la spira frontalmente dove la corrente ha senso aNtiorario, lì c’è il Nord;    e): se si osserva la spira frontale di destra lì la corrente ha verso orario, secondo la lettera S e quello è il sud.

Il solenoide di fig 2a), se il diametro delle spire è ridotto rispetto alla sua lunghezza ‘l’, si può ritenere pressoché ideale. In tal caso il campo magnetico interno risulta uniforme e lo si può determinare dalla (3). Infatti con il solenoide ideale può ritenersi nullo il campo al suo esterno, essendo infinita la lunghezza ideale delle linee.

Il verso delle linee del campo si ottiene:

·        applicando la solita regola del cavatappi ad un elemento qualsiasi di conduttore percorso dalla corrente I oppure

·        disponendo la mano destra (fig. 2d) in modo che le dita seguano il verso della corrente nelle spire abbracciate: il pollice stabilisce il Nord e quindi il verso del campo; all’altro estremo ci sarà il Sud (ricorda l’equivalenza magnete – elettromagnete lineare); oppure

·        osservando frontalmente il solenoide, ponendoci cioè ad un suo estremo: se il verso della corrente che percorre la spira che si ‘vede’ è quello antiorario (fig. 2d), lì le linee del campo escono è vi è il Nord; se si ‘vede’ la corrente circolare in senso orario (fig. 2e) lì le linee sono uscenti e vi è il Sud.

All’interno del solenoide l’intensità del vettore H sarà tanto maggiore quanto maggiore è il prodotto NI e, a parità di ‘amperspire’, H sarà maggiore se la lunghezza l è minore, ovvero se il solenoide si sviluppa con le stesse spire e la stessa corrente, ma su una lunghezza inferiore. Per quanto riguarda i vettori B e H valgono, dalla (3), le seguenti relazioni:

Per la legge di Ampère (3) la sommatoria dei prodotti Hl lungo il percorso (l=lunghezza del solenoide nel vuoto o aria, oppure lunghezza del materiale ferromagnetico su cui sono avvolte le spire) è uguale alla corrente concatenata lungo il percorso menzionato. La corrente concatenata vale NI, come mostra la (4).

_Campo magnetico prodotto da un solenoide avvolto su un nucleo ad anello

Se il solenoide avente N spire è avvolto, come caso specifico, su un nucleo toroidale (fig. 3), si consideri la linea media della circonferenza del percorso magnetico avente raggio  R_m.

Figura 3) Circuito di eccitazione avvolto su un nucleo ad anello.

In base alla (3) la linea chiusa l, di lunghezza pari alla circonferenza media del toroide, si concatena N volte con la corrente I. Il tutto equivale ad una corrente NI concatenata una volta sola col percorso chiuso. Pertanto la (3) diventa

e per la (5):

In essa:

B è il vettore densità di flusso all’interno dell’elettromagnete,

m è la permeabilità assoluta del materiale che costituisce l’anello,

N è il numero di spire del solenoide,

I è l’intensità di corrente che attraversa le spire ed è fornita da un generatore esterno,

H è il vettore NI / l,

R_m è il raggio medio del toroide,

S è l’area della sezione circolare del toroide, perpendicolare alle linee del tubo di flusso,

F=B·S è il flusso costante del circuito magnetico.

Se si possono ritenere trascurabili le dimensioni della sezione dell’anello, ad esempio del raggio della sezione S di fig.3 rispetto al raggio medio R_m, allora si può considerare uniforme il valore del vettore B nel suo interno e quindi è possibile calcolarlo per tutti i punti del toroide con la relazione (7) (Altrimenti B varia in modo inversamente proporzionale al raggio R di fig.3).

Esempio:

- Con le ipotesi appena fatte si calcoli il valore di corrente necessario per creare in un nucleo toroidale non ferromagnetico, su cui è avvolto un solenoide di N=1500 spire, un flusso di 20μWb.

- E se il nucleo possiede una permeabilità relativa di 1000 ?

Si conoscono il raggio  R_m =10cm e la sezione circolare del toroide S=1,8×10^-4m².

Dalla definizione di flusso si ottiene la densità di flusso:

e sostituendo i valori numerici noti nella (7):

- Per nucleo con permeabilità relativa 1000 la corrente richiesta per produrre lo stesso valore di B si riduce anch’essa di 1000 volte, per cui saranno sufficienti 37mA.